Question

Помогите очень срочно надо Найти: а) наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области, ограниченной заданными линиями; б) экстремумы функции. 48. z = x2 +3y2 +x–y х = 1; у = 1; х + у =1.

Answer 1

Ответ:

48.z = 12 + 312 + 1-1

z = 312 + 12 : 48

z = 12(ост.4)

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = x^2 + 3y^2 + x - y в замкнутой области, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать метод множителей Лагранжа. В этом методе мы формулируем функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = x^2 + 3y^2 + x - y + λ(х + у - 1)

Где λ - множитель Лагранжа.

Теперь найдем частные производные функции Лагранжа по x, y и λ и приравняем их к нулю:

∂L/∂x = 2x + 1 + λ = 0 ∂L/∂y = 6y - 1 + λ = 0 ∂L/∂λ = x + y - 1 = 0

Решая эту систему уравнений, мы найдем критическую точку (x, y, λ). Для начала, выразим x и y из первых двух уравнений:

2x + 1 + λ = 0 => 2x = -1 - λ => x = (-1 - λ)/2 6y - 1 + λ = 0 => 6y = 1 - λ => y = (1 - λ)/6

Теперь подставим x и y в третье уравнение:

(-1 - λ)/2 + (1 - λ)/6 - 1 = 0

Упростим это уравнение:

-3(1 + λ) + (1 - λ) - 6 = 0

-3 - 3λ + 1 - λ - 6 = 0

-4λ - 8 = 0

-4λ = 8

λ = -2

Теперь, зная значение λ, мы можем найти значения x и y:

x = (-1 - (-2))/2 = 1/2 y = (1 - (-2))/6 = 1/2

Таким образом, критическая точка (x, y) равна (1/2, 1/2).

Чтобы найти экстремумы функции z, нам нужно проверить вторые производные функции Лагранжа в этой точке. Посчитаем их:

∂²L/∂x² = 2 ∂²L/∂y² = 6 ∂²L/∂x∂y = 0

Теперь составим матрицу вторых производных:

Hessian Matrix H = | 2 0 | | 0 6 |

Чтобы определить, является ли точка (1/2, 1/2) экстремумом, проверим определитель Hessian Matrix и значения его собственных чисел:

det(H) = 2 * 6 - 0 * 0 = 12

Значения собственных чисел матрицы H равны 2 и 6.

Теперь мы можем определить характер точки (1/2, 1/2):

1. Если det(H) > 0 и все собственные числа положительны, то точка является локальным минимумом.
2. Если det(H) > 0 и все собственные числа отрицательны, то точка является локальным максимумом.
3. Если det(H) < 0, то точка является седловой точкой.
4. Если det(H) = 0, тест не дает определенного ответа.

В нашем случае det(H) > 0, и оба собственных числа положительны, поэтому точка (1/2, 1/2) является локальным минимумом функции z = x^2 + 3y^2 + x - y в заданной области.

Таким образом, наибольшее значение функции z равно z(1/2, 1/2) = 1/4 + 3/4 + 1/2 - 1/2 = 1, а наименьшее значение равно z(1, 0) = 1 + 0 + 1 - 0 = 2.