Question

Y''-y'=x^2+x дифференциальное уравнение

Answer 1

Это линейное  неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем  линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''-y'=0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2-k=0

k(k-1)=0

k_(1)=0 и   k_(2)=1

корни действительные различные

общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:

y(общее одн)=C₁e^(k₁x)+C₂e^(k₂x)

y(общее одн)=C₁+C₂eˣ

- общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид,

k=0  - корень характеристического уравнения и поэтому частное решение  имеет вид:

y(частное неодн)=x·(Аx²+Bx+D) ⇒  y_(частное неодн)=Аx³+Bx²+Dх

y `(частное неодн) =3Ax²+2Bх+D

y ``(частное неодн)=6Ах+2В

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(6Ах+2В)-(3Ax²+2Bх+D)=x²+х

Два многочлена равны, если равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной

 -3Аx²+(6А-2B)·x+(2В-D)=x²+х

-3А=1

6A-2B=1

2B-D=0

A=-1/3

B=-3/2

D=-3

y(общее неодн)=у(общее однород) +y(частное неодн)

y(общее неодн)=C₁+C₂eˣ-(1/3)x³-(3/2)x²-3x

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, Y'' - Y' = x^2 + x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

Y'' - Y' = 0

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения имеет вид:

r^2 - r = 0

Факторизуя его:

r(r - 1) = 0

Это уравнение имеет два корня: r1 = 0 и r2 = 1.

Следовательно, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Yh(x) = c1 * e^0 + c2 * e^x

Yh(x) = c1 + c2 * e^x

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения Y'' - Y' = x^2 + x, используя метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид Yp(x) = Ax^2 + Bx + C, где A, B и C - константы, которые мы должны найти.

Найдем производные Yp(x):

Yp'(x) = 2Ax + B Yp''(x) = 2A

Подставим Yp(x) и его производные в исходное уравнение:

2A - (2Ax + B) = x^2 + x

Теперь сгруппируем похожие члены:

2A - B = x^2 + x + 2Ax

Теперь сравним коэффициенты при соответствующих степенях x:

Для x^2: 0 = 1 (это означает, что A = 0) Для x^1 (линейный член): -B = 1 (это означает, что B = -1) Для x^0 (свободный член): 2A = 0 (это означает, что A = 0)

Теперь, когда мы нашли A и B, мы видим, что A = 0 и B = -1. Теперь мы можем записать частное решение:

Yp(x) = Ax^2 + Bx + C Yp(x) = 0 * x^2 - 1 * x + C Yp(x) = -x + C

Теперь объединим общее решение однородного уравнения (Yh) и частное решение (Yp):

Y(x) = Yh(x) + Yp(x) Y(x) = c1 + c2 * e^x - x + C

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

Y(x) = c1 + c2 * e^x - x + C, где c1, c2 и C - произвольные постоянные.