Question

1) (y+12) dx=(x-7) dy. Дифференциальное уравнение. Найти общее решение. 2) 2dx/9+x^2=dy, y^'(0)=2. Дифференциальное уравнение. Найти частное решение.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x)=cx-7c-12\\y(x)=\frac23\arctan\left(\frac x3\right)+2$

Пошаговое объяснение:

$1) \,\,\displaystyle (y+12)dx=(x-7)dy\\\frac{dx}{x-7}=\frac{dy}{y+12}\\\int \frac{dx}{x-7}=\int\frac{dy}{y+12}\\\int \frac{d(x-7)}{x-7}=\int\frac{d(y+12)}{y+12}\\\ln( x-7)+\ln c=\ln(y+12)\\e^{\ln( x-7)+\ln c}=e^{\ln(y+12)}\\c(x-7)=y+12\\y(x)=cx-7c-12\\\\2)\,\, \frac{2dx}{9+x^2}=dy\\\frac{dy}{dx}=\frac2{9+x^2}\\y'=\frac2{9+x^2}\\\int y' dy= \int\frac2{9+x^2}dx\\y=2\int\frac1{9+x^2}dx\\y=\frac23\arctan\left(\frac x3\right)+c\\y(0)=2\Leftrightarrow\frac23\arctan\left(\frac 03\right)+c=2, c=2$

Answer 2

Уравнение 1:

$$(y+12) dx = (x-7) dy$$

Для решения этого дифференциального уравнения мы можем применить метод разделения переменных. Давайте разделим обе стороны на соответствующие выражения:

$$\frac{dx}{x-7} = \frac{dy}{y+12}$$

Затем проинтегрируем обе стороны по отдельности:

$$\int \frac{dx}{x-7} = \int \frac{dy}{y+12}$$

Интегралы могут быть рассчитаны:

$$\ln |x - 7| = \ln |y + 12| + C$$

Где C - это константа интегрирования. Теперь мы можем избавиться от натурального логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

$$|x - 7| = e^C |y + 12|$$

Поскольку константа e^C положительная, мы можем заменить её другой положительной константой K:

$$|x - 7| = K |y + 12|$$

Рассмотрим два случая в зависимости от значения абсолютных величин:

Случай 1:

$$x - 7 = Ky + 12$$

$$x = Ky + 19$$

Случай 2:

$$x - 7 = -Ky - 12$$

$$x = -Ky - 5$$

Это выражения для общего решения данного дифференциального уравнения.

Уравнение 2:

$$\frac{2dx}{9} + x^2 = dy$$

Для нахождения частного решения мы можем сначала разделить обе стороны на 2:

$$\frac{dx}{9} + \frac{x^2}{2} = \frac{dy}{2}$$

Затем рассмотрим второе слагаемое на левой стороне. Чтобы упростить интегрирование, мы можем представить его в виде полного квадрата:

$$\frac{x^2}{2} = \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$\frac{dx}{9} + \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{dy}{2}$$

Дифференциалы от обеих сторон:

$$\frac{dx}{9} + \frac{x^2}{2} = \frac{dy}{2}$$

Интегрируем обе стороны уравнения:

$$\int \frac{dx}{9} + \int \frac{x^2}{2} = \int \frac{dy}{2}$$

$$\frac{x}{9} + \frac{x^3}{6} = \frac{y}{2} + C$$

Теперь у нас есть общее решение. Чтобы найти частное решение с начальным условием $y'(0) = 2$, подставим $x = 0$ и $y' = 2$ в уравнение:

$$\frac{0}{9} + \frac{0^3}{6} = \frac{2}{2} + C$$

$$0 = 1 + C$$

$$C = -1$$

Таким образом, уравнение с начальным условием имеет вид:

$$\frac{x}{9} + \frac{x^3}{6} = \frac{y}{2} - 1$$