Question

Найдите значение параметра a, при которых уравнение 3*x + 4 * sqrt(1-x^2) = a имеет хотя бы один корень

Answer 1

Ответ:

[-5; 5]

Пошаговое объяснение:

ОДЗ: $1-x^2\geq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$

Пусть $x=\sin{t}, -\dfrac{\pi}{2}\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}$. Так как область значений синуса совпадает с областью значений (ОДЗ) x, потери корней не произойдёт. В силу ограничений на t на данном промежутке синус — монотонная функция.

$3\sin{t}+4\sqrt{1-\sin^2{t}}=a\\3\sin{t}+4\sqrt{\cos^2{t}}=a\\3\sin{t}+4|\cos{t}|=a$

При указанных значениях t косинус неотрицателен, поэтому модуль раскрывается с плюсом:

$3\sin{t}+4\cos{t}=a\\\dfrac{3}{5}\sin{t}+\dfrac{4}{5}\cos{t}=\dfrac{a}{5}$

Пусть $z=\arccos{\dfrac{3}{5}}=\arcsin{\dfrac{4}{5}}$. Тогда

$\sin{t}\cos{z}+\sin{z}\cos{t}=\dfrac{a}{5}\\\sin{(t+z)}=\dfrac{a}{5}$

Уравнение имеет хотя бы один корень, если правая часть лежит в промежутке от -1 до 1:

$-1\leq \dfrac{a}{5}\leq 1\\-5\leq a\leq 5$

Answer 2

Чтобы найти значение параметра a, при котором уравнение $3x + 4\sqrt{1-x^2} = a$ имеет хотя бы один корень, мы можем рассмотреть область определения функции $\sqrt{1-x^2}$, а именно $x \in [-1, 1]$, так как $1-x^2$ должно быть неотрицательным (иначе извлечение квадратного корня не определено). Это означает, что $x$ должно быть в интервале $[-1, 1]$.

Поскольку $\sqrt{1-x^2}$ принимает значения от 0 до 1 включительно в этом интервале, то $4\sqrt{1-x^2}$ будет принимать значения от 0 до 4.

Теперь рассмотрим значение $a$. Если $a < 0$, то уравнение $3x + 4\sqrt{1-x^2} = a$ невозможно удовлетворить, так как слева у нас всегда неотрицательное значение (от 0 до 4), а справа отрицательное значение. Следовательно, у нас не будет корней в этом случае.

Если $a = 0$, то уравнение примет вид $3x + 4\sqrt{1-x^2} = 0$, и единственное решение будет $x = 0$.

Если $a > 0$, то мы можем рассмотреть интервал $0 < a \leq 4$. В этом случае, уравнение будет иметь хотя бы одно решение, так как сумма положительного значения $3x$ и положительного значения $4\sqrt{1-x^2}$ может равняться положительному значению $a$ при определенных значениях $x$.

Итак, чтобы уравнение $3x + 4\sqrt{1-x^2} = a$ имело хотя бы один корень:

1. Для $a = 0$ у нас есть решение $x = 0$.
2. Для $0 < a \leq 4$ уравнение будет иметь хотя бы одно решение в интервале $[-1, 1]$.

Таким образом, значение параметра $a$ должно быть в интервале $0 \leq a \leq 4$, и в этом случае уравнение будет иметь хотя бы один корень.