Question

Решить уравнение: sin (3pi*x) +7 sin (pi*x) = 0. В ответ записать сумму всех решений, принадлежащих отрезку (-1; 1) Помогите пожалуйста срочно надо, кому не сложно

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\sin(3\pi x)+7\sin(\pi x)=0\\3\sin(\pi x)-4\sin^3(\pi x)+7\sin(\pi x)=0\\10\sin(\pi x)-4\sin^3(\pi x)=0\\\sin(\pi x)(5-2\sin^2(\pi x))=0,\;\;\sin(\pi x) = 0$

Так задача свелась к решению уравнения:

$\sin(\pi x) = 0\\\pi x =n\pi,\;n\in \mathbb{Z}\\x =n,\;n\in \mathbb{Z}$

Ответим теперь на вопрос задачи: $0$.

Уравнение решено!

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы будем искать корни на интервале (-1, 1), так как только в этом интервале могут быть решения, так как sin(3πx) и sin(πx) имеют периоды 2/3 и 2 соответственно.

Уравнение: sin(3πx) + 7sin(πx) = 0

Давайте начнем с упрощения уравнения. Вынесем sin(πx) за скобку: sin(πx)(7 + 3sin(2πx)) = 0

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем найти корни для каждого из них.

1. sin(πx) = 0 Это уравнение имеет корни при значениях x, для которых sin(πx) равен нулю. То есть: πx = nπ, где n - целое число. x = n, где n - целое число.

2. 7 + 3sin(2πx) = 0 Для этого уравнения, давайте решим его относительно sin(2πx): 3sin(2πx) = -7 sin(2πx) = -7/3

   Теперь мы должны найти такие значения x, при которых sin(2πx) равен -7/3. Однако, sin функция ограничена значениями от -1 до 1, и поэтому уравнение sin(2πx) = -7/3 не имеет решений на интервале (-1, 1).

Итак, у нас есть только одно решение на интервале (-1, 1), которое соответствует уравнению sin(πx) = 0, и это x = 0.

Сумма всех решений, принадлежащих интервалу (-1, 1), равна 0.

Answer 3

Для решения уравнения sin(3πx) + 7sin(πx) = 0 сначала давайте рассмотрим каждый из синусов по отдельности:

1. sin(3πx) = 0

Для этого уравнения найдем значения x, для которых sin(3πx) = 0. Это произойдет, когда аргумент синуса 3πx равен кратным π (так как sin(πn) = 0 для целых n):

3πx = πn, где n - целое число

Теперь делим обе стороны на 3π:

x = n/3, где n - целое число

2. 7sin(πx) = 0

Для этого уравнения найдем значения x, для которых sin(πx) = 0. Снова это произойдет, когда аргумент синуса πx равен кратным π:

πx = πn, где n - целое число

Теперь делим обе стороны на π:

x = n, где n - целое число

Теперь у нас есть два набора решений:

1. Для sin(3πx) = 0: x = n/3, где n - целое число
2. Для 7sin(πx) = 0: x = n, где n - целое число

Теперь мы можем найти все решения на интервале (-1, 1), то есть когда -1 < x < 1. Подходящие значения n будут лежать в пределах от -3 до 3 (так как -1/3 < -1 и 1 < 3).

Суммируем все решения из обоих наборов, которые удовлетворяют условию -1 < x < 1:

Для первого набора (sin(3πx) = 0): n/3, где n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Для второго набора (7sin(πx) = 0): n, где n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Суммируем эти значения:

(-3/3) + (-2/3) + (-1/3) + (0) + (1/3) + (2/3) + (3/3) = -2

Итак, сумма всех решений на интервале (-1, 1) равна -2.