Question

Найдите область значений функции f (x) = 5sin²x + 3cos²x​

Answer 1

Ответ:

[3, 5]

Пошаговое объяснение:

$5\sin^2{x}+3\cos^2{x}=2\sin^2{x}+3\sin^2{x}+3\cos^2{x}=2\sin^2{x}+\\+3(\sin^2{x}+\cos^2{x})=2\sin^2{x}+3$

$-1\leq \sin{x}\leq 1\\0\leq \sin^2{x}\leq 1\\0\leq 2\sin^2{x}\leq 2\\3\leq 2\sin^2{x}+3\leq 5\\3\leq f(x)\leq 5$

Answer 2

Для нахождения области значений функции f(x) = 5sin²x + 3cos²x мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями, которые связывают синус и косинус:

1. sin²x + cos²x = 1

Исходя из этой идентичности, мы можем выразить sin²x и cos²x следующим образом:

sin²x = 1 - cos²x cos²x = 1 - sin²x

Теперь мы можем подставить эти выражения в исходную функцию:

f(x) = 5(1 - cos²x) + 3(1 - sin²x)

Раскроем скобки:

f(x) = 5 - 5cos²x + 3 - 3sin²x

Теперь объединим все члены, содержащие косинус и синус:

f(x) = 8 - 5cos²x - 3sin²x

Обратите внимание, что это выражение представляет собой сумму двух членов, каждый из которых не превышает 8 (поскольку sin²x и cos²x не могут быть больше 1). Следовательно, область значений функции f(x) - это все вещественные числа, меньшие или равные 8:

Область значений f(x): (-∞, 8]