Question

№262 (6) , учебник Ю.М. Колягин , Алгебра-10 класс. Доказать , что число ( 71³²⁵ + 41¹³⁵ ) делится на 7. Максимально ПОДРОБНО, используя теорию только данного учебника.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Формула для n-натурального числа

$a^{n}-b^{n} =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Значит число вида $a^{n}-b^{n}$ делится на a-b, при условии a-b≠0

2) Формула для n-нечётного числа

$a^{n}+b^{n} =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$

Значит число вида $a^{n}+b^{n}$ , где n-нечётно, делится на a+b, при условии a+b≠0

3) 71³²⁵-1=71³²⁵-1³²⁵ делится на 71-1=70(по первой формуле). Значит делится и на 7, так как 70 кратно 7.

4) 41¹³⁵+1=41¹³⁵+1¹³⁵ делится на 41+1=42(по 2-ой формуле). Значит делится и на 7, так как 42 кратно 7

5) Получим что число  71³²⁵ + 41¹³⁵=(71³²⁵ -1)+ (41¹³⁵+1)  делится на 7, так как каждое из слагаемых (71³²⁵ -1)  и  (41¹³⁵+1)  делится на 7

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

262 ( 6 ) . Розв"язуємо за допомогою порівнянь ( сравнений ) .

71³²⁵ + 41¹³⁵ ≡ 1 (mod 7) + 6 (mod 7) ≡ 7 (mod 7) ≡ 0 (mod 7) .

Отже , остача від ділення даного числового виразу на 7 дорівнює 0 ,

а це означає , що він ділиться на 7 .  

Answer 3

К сожалению, я не имею доступа к конкретным учебникам, включая учебник Ю.М. Колягина по алгебре. Однако, я могу помочь вам с доказательством деления числа $71^{325} + 41^{135}$ на 7, используя основные свойства чисел и теорию деления.

Для доказательства деления на 7, мы можем воспользоваться тем, что $7$ делит числа, у которых разность сумм цифр в позиционной записи числа делится на $7$. Это свойство известно как правило делимости на $7$.

Рассмотрим числа $71^{325}$ и $41^{135}$. Мы можем проанализировать их суммы цифр:

1. Число $71^{325}$:

   • Сначала найдем остаток от деления показателя степени на $6$ (так как период делимости чисел по модулю $7$ равен $6$):

     $325 \mod 6 = 1$

   • Теперь посмотрим на цифры согласно правилу $71^{6k + 1} \equiv 1 \pmod{7}$ (где $k$ - целое число). Таким образом, $71^{325} \equiv 71^1 \pmod{7}$.

   • Получаем: $71^{325} \equiv 1 \pmod{7}$.

2. Число $41^{135}$:

   • Точно так же найдем остаток от деления показателя степени на $6$:

     $135 \mod 6 = 3$

   • Согласно правилу $41^{6k + 3} \equiv 1 \pmod{7}$, получаем $41^{135} \equiv 1 \pmod{7}$.

Теперь объединим результаты:

$71^{325} + 41^{135} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$

Таким образом, сумма не делится на $7$. Возможно, в вашем вопросе допущена ошибка или уточните, если вам нужна дополнительная информация.