Question

Разделив каждую часть неравенства на определённое число,введите вспомогательный угол и решите неравенства: а) √3sinx+cosx>1б) sinx-cosx<1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Смотри фото

Answer 2

Для решения данных неравенств давайте начнем с первого:

а) √3sinx + cosx > 1

Сначала разделим обе стороны на √3, чтобы избавиться от корня:

sinx + (1/√3)cosx > 1/√3

Теперь введем вспомогательный угол α так, чтобы:

sinα = 1/√3 cosα = √3/3

Теперь мы можем переписать наше неравенство, используя sinα и cosα:

sinx + cosx > sinα + cosα

Теперь мы можем воспользоваться тем, что sinx и cosx - это синус и косинус одного и того же угла, и воспользоваться фактом, что сумма синуса и косинуса данного угла не меньше, чем 1:

sinx + cosx ≥ 1 (для всех x)

Теперь перейдем ко второму неравенству:

б) sinx - cosx < 1

Аналогично первому неравенству, разделим обе стороны на √3:

sinx/√3 - cosx/√3 < 1/√3

Введем вспомогательный угол β так, чтобы:

sinβ = 1/√3 cosβ = √3/3

Теперь мы можем переписать наше неравенство, используя sinβ и cosβ:

(sinβ)sinx - (cosβ)cosx < sinβ

Теперь воспользуемся формулой для разности синусов и косинусов:

sin(x - β) < sinβ

Теперь, чтобы получить решение для x, найдем обратный синус от обеих сторон:

x - β < arcsin(sinβ)

x - β < arcsin(1/√3)

x < β + arcsin(1/√3)

Теперь, зная значения sinβ и cosβ, мы можем вычислить β:

sinβ = 1/√3 cosβ = √3/3

Тогда:

β = arcsin(1/√3) ≈ 30°

Теперь мы можем подставить значение β обратно в наше неравенство:

x < 30° + arcsin(1/√3)

x < 30° + 60°

x < 90°

Итак, решением данного неравенства является:

x < 90°