Question

!!!!!!!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!!!! ( даю 30 балов)!!!! Докажите, что отрезок, соединяющий вершину прямого угла с центром квадрата, построенного снаружи на гипотенузе, делит прямой угол пополам. Выразите длину этого отрезка через катеты треугольника.​

Answer 1

Ответ:

1Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.

2Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

3Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим следующую схему:

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а BC и AC - катеты. Пусть также у нас есть квадрат, построенный снаружи на гипотенузе, и вершина этого квадрата находится в точке D. Мы хотим доказать, что отрезок AD делит прямой угол между катетами пополам.

Для начала заметим, что квадрат ABCD можно разделить на два равных прямоугольных треугольника: ABD и BCD. Эти треугольники имеют общий катет AB и гипотенузу BD (для ABD) и CD (для BCD).

Теперь обратим внимание на треугольник ABD. Мы знаем, что он прямоугольный, и его гипотенуза BD равна стороне квадрата, который по условию построен снаружи на гипотенузе. Таким образом, BD равна сумме стороны квадрата и стороны треугольника, то есть AB + AD.

Следовательно, мы имеем следующее равенство:

BD = AB + AD

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Он также прямоугольный, и его гипотенуза CD равна стороне квадрата. Таким образом, CD также равна AB + AD.

Таким образом, мы видим, что BD = CD, что означает, что отрезок AD делит прямой угол между катетами пополам, так как он является медианой к гипотенузе и делит ее на две равные части.

Теперь мы можем выразить длину отрезка AD через длины катетов. Пусть BC = AC = a (длина катетов), а AB = c (длина гипотенузы). Тогда по вышеуказанным равенствам:

BD = AB + AD c = a + AD

Отсюда:

AD = c - a

Таким образом, длина отрезка AD равна разности длины гипотенузы и длины одного из катетов.