Question

Найдите все значения p, при которых уравнение p*ctg^2x+2sinx+p=3 имеет хотя бы один корень

Answer 1

Дано уравнение p*ctg^2(x)+2sin(x)+p=3.

Выразим его через "р".

p*ctg^2(x)+p = 3 - 2sin(x),

p(ctg^2(x) + 1) = 3 - 2sin(x),

p = (3 - 2sin(x)) / (ctg^2(x) + 1). Заменим ctg^2(x) = cos^2(x) / sin^2(x).

p = (3 - 2sin(x)) / ((cos^2(x) / sin^2(x)) + 1).

Приведём к общему знаменателю:

p = (3 - 2sin(x))*sin^2(x)) / (cos^2(x) + sin^2(x)). В знаменателе 1.

Отсюда p = (3 - 2sin(x))*sin^2(x)).

Проанализируем полученное выражение.

Так как синус может принимать значения от минус 1 до плюс 1 (в том числе и 0), то если один из множителей (а это sin^2(x)) равен нулю, то и р равно 0. Но это предельное значение не входит в область определения функции (получаем 2sin(x) = 3, что невозможно).

При переменной х, равной "пи", синус равен минус 1. Второй множитель положителен и равен 1, а первый принимает значение 3 - (-1) = 5.

Параметр р не принимает отрицательных значений.

Ответ: 0 < p ≤ 5.

Answer 2

4sinx+9=p(1+ctg

2

x)

4sinx+9=p(1+

sin

2

x

cos

2

x

)

4sinx+9=

sin

2

x

p

4sin

3

x+9sin

2

x=p

sinx



=0

−1≤sinx≤1

sinx=t

f(x)=4sin

3

x+9sin

2

x

f

′

(x)=12cosxsin

2

x+9sin2x

f−−−>max=>13

f−−−>min=>0

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение и найдем значения параметра p, при которых оно имеет хотя бы один корень. Уравнение имеет следующий вид:

p * ctg^2(x) + 2 * sin(x) + p = 3

Для того чтобы найти значения параметра p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, мы можем воспользоваться методом анализа действительных корней.

Сначала перепишем уравнение в виде:

p * (1/sin^2(x)) + 2 * sin(x) + p = 3

Теперь выразим sin(x) как функцию p:

2 * sin(x) = 3 - p + p * (1/sin^2(x))

2 * sin(x) = 3 - p + p * csc^2(x)

sin(x) = (3 - p + p * csc^2(x)) / 2

Теперь давайте рассмотрим, при каких значениях параметра p это уравнение имеет хотя бы один корень. Для этого нужно, чтобы выражение на правой стороне было в интервале [-1, 1], так как sin(x) принимает значения в этом интервале.

-1 <= (3 - p + p * csc^2(x)) / 2 <= 1

Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от деления:

-2 <= 3 - p + p * csc^2(x) <= 2

Теперь выразим p * csc^2(x) и p:

-2 - 3 + p <= p * csc^2(x) <= 2 - 3 + p

p - 5 <= p * csc^2(x) <= -1 + p

Теперь разделим обе стороны на p (предполагая, что p не равно нулю, так как если p = 0, то уравнение не имеет корней):

(p - 5) / p <= csc^2(x) <= (-1 + p) / p

Теперь у нас есть неравенство, связывающее csc^2(x) и p. Для того чтобы найти допустимые значения p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, нужно найти интервалы значений p, для которых неравенство выполняется для всех значений csc^2(x).

csc^2(x) принимает значения в интервале [1, +бесконечность), поэтому нам нужно найти интервалы для p, чтобы неравенство выполнялось для всех значений csc^2(x) из этого интервала.

Для интервала [1, +бесконечность):

(p - 5) / p <= 1 (p - 5) <= p -5 <= 0

Это неравенство не выполняется для любых значений p в интервале [1, +бесконечность), так как -5 <= 0 является ложным утверждением.

Следовательно, уравнение p * ctg^2(x) + 2 * sin(x) + p = 3 имеет хотя бы один корень только в случае, если p принимает значения в интервале (-бесконечность, 0) или p = 0.