Question

А) решите уравнение cos2x+2=3cosx б) найдите корни в промежутке [-2,5п; -0,5п]

Answer 1

Ответ:

на один листочек не уместилось(

надеюсь, всё понятно!

хорошего дня ♥

Answer 2

Давайте начнем с уравнения:

А) cos(2x) + 2 = 3cos(x)

Сначала преобразуем это уравнение, чтобы избавиться от cos(2x). Мы можем использовать тождество двойного угла cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

2cos^2(x) - 1 + 2 = 3cos(x)

Теперь перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:

2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Для упрощения обозначим cos(x) как t:

2t^2 - 3t + 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

D > 0, поэтому у нас есть два корня:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (3 + 1) / (4) = 1 t2 = (-b - √D) / (2a) = (3 - 1) / (4) = 0.5

Теперь вернемся к переменной x, которая связана с cos(x):

1. t1 = cos(x) = 1
2. t2 = cos(x) = 0.5

Давайте найдем углы, для которых это выполняется:

1. cos(x) = 1 соответствует x = 0 + 2πn, где n - целое число.
2. cos(x) = 0.5 соответствует x = ±π/3 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, корни уравнения в интервале [-2π, 5π] для (a) будут следующими:

1. x = 0
2. x = π/3
3. x = -π/3
4. x = 2π
5. x = 5π/3
6. x = -5π/3

Это все корни уравнения cos(2x) + 2 = 3cos(x) на заданном интервале.

Б) Теперь давайте найдем корни в промежутке [-2π, -π/2]:

1. cos(x) = 1 соответствует x = 0 + 2πn, где n - целое число.
2. cos(x) = 0.5 соответствует x = π/3 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, корни уравнения в интервале [-2π, -π/2] для (а) будут следующими:

1. x = 0
2. x = π/3

Это все корни уравнения cos(2x) + 2 = 3cos(x) на заданном интервале.

Answer 3

А) Давайте решим уравнение cos(2x) + 2 = 3cos(x) в промежутке от 0 до 2π, а затем учтем периодичность функции косинуса, чтобы найти все корни.

1. Переносим все члены на одну сторону уравнения: cos(2x) - 3cos(x) + 2 = 0.

2. Воспользуемся формулами для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 cos(x) = ±√(1 - sin^2(x))

3. Подставляем эти выражения в уравнение: 2cos^2(x) - 1 - 3(±√(1 - sin^2(x))) + 2 = 0.

4. Рассмотрим два случая: cos(x) = √(1 - sin^2(x)) и cos(x) = -√(1 - sin^2(x)).

Сначала рассмотрим случай cos(x) = √(1 - sin^2(x)): 2(√(1 - sin^2(x)))^2 - 1 - 3√(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

4(1 - sin^2(x)) - 1 - 3√(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

4 - 4sin^2(x) - 1 - 3√(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

-4sin^2(x) - 3√(1 - sin^2(x)) + 1 = 0

Теперь рассмотрим случай cos(x) = -√(1 - sin^2(x)): 2(-√(1 - sin^2(x)))^2 - 1 - 3(-√(1 - sin^2(x))) + 2 = 0

2(1 - sin^2(x)) - 1 + 3√(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

2 - 2sin^2(x) - 1 + 3√(1 - sin^2(x)) + 2 = 0

-2sin^2(x) + 3√(1 - sin^2(x)) + 3 = 0

Теперь решим оба уравнения относительно sin(x). Обратите внимание, что мы использовали равенство sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены sin^2(x).

Первое уравнение: -4sin^2(x) - 3√(1 - sin^2(x)) + 1 = 0

Давайте обозначим sin(x) за t: -4t^2 - 3√(1 - t^2) + 1 = 0

Теперь рассмотрим второе уравнение: -2sin^2(x) + 3√(1 - sin^2(x)) + 3 = 0

Обозначим sin(x) за u: -2u^2 + 3√(1 - u^2) + 3 = 0

Оба уравнения сложны для аналитического решения, и мы должны использовать численные методы для нахождения приближенных корней. Я могу вычислить приближенные значения корней с использованием численных методов, если вы хотите.

Б) Чтобы найти корни в промежутке [-2π, -0.5π], мы можем использовать найденные корни из уравнения А) и проверить их соответствие данному интервалу. Так как значения косинуса периодичны, мы можем найти корни на интервале [0, 2π] и затем отобразить их на интервал [-2π, -0.5π].

Если вы хотите, чтобы я вычислил приближенные значения корней на интервале [0, 2π], дайте мне знать, и я сделаю это.