Question

Обчисліть площу грані АВС і об’єм піраміди АВСІ), вершини якої містяться в точках: А(1 ; 2; 5), B(2;-3;1) C(4;-2;0) D(3;3;6

Answer 1

Даны вершины пирамиды А(1; 2; 5), B(2; -3; 1), C(4; -2; 0), D(3; 3; 6).

Находим векторы АВ и АС.

АВ = (2-1; -3-2; 1-5) = (1; -5; -4)

АС = (4-1; -2-2; 0-5) = (3; -4; -5).

Вектор АВ  

X       Y       Z

1       -5      -4

Модуль √42 ≈ 6,48074.

Вектор АC  

X       Y      Z

3      -4     -5

Модуль √50 ≈ 7,07107.

Площадь грани АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Находим векторное произведение АВ и АС с применением правила Саррюса.

i       j       k|      i       j

1     -5      -4|     1      -5

3    -4     -5|     3      -4 = 25i - 12j - 4k + 5j - 16i + 15k = 9i - 7j + 11k.

Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).

S(АВС) = (1/2)√(9² + (-7)² + 11²) = (1/2)√(81 + 49 + 121) = (1/2)√251 =

= (1/2)*15,84298 = 7,92149 кв. ед.

Для определения объёма пирамиды надо найти вектор AD.

AD = (3-1; 3-2; 6-5) = (2; 1; 1).

Находим смешанное произведение (ABxAC)*AD.

Вектор (ABxAC) = (9; -7; 11).

       Вектор AD = (2; 1; 1).

                               18-7+11 = 22.

Объём пирамиды равен V = (1/6)(ABxAC)*AD = 22/6 = 11/3 куб ед.

 

Answer 2

Для обчислення площі грані АВС і об'єму піраміди АВСІ нам потрібно використовувати векторну арифметику та геометричні властивості.

Спочатку знайдемо вектори AB, AC і AD:

1. Вектор AB: AB = B - A = (2 - 1, -3 - 2, 1 - 5) = (1, -5, -4)

2. Вектор AC: AC = C - A = (4 - 1, -2 - 2, 0 - 5) = (3, -4, -5)

3. Вектор AD: AD = D - A = (3 - 1, 3 - 2, 6 - 5) = (2, 1, 1)

Тепер обчислимо площу грані АВС за допомогою векторного добутку векторів AB і AC. Площа грані обчислюється за формулою:

Площа грані = 1/2 * |AB x AC|, де |AB x AC| - довжина векторного добутку AB і AC.

Для обчислення довжини векторного добутку AB і AC:

AB x AC = |i j k | |1 -5 -4| |3 -4 -5|

= (i * (-5*(-5) - (-4)(-4)) - j * (1(-5) - (-4)3) + k * (1(-4) - (-5)*3))

= (i * (-25 - 16) - j * (-5 + 12) + k * (-4 + 15))

= (-41i + 7j + 11k)

Тепер обчислимо довжину вектора AB x AC:

|AB x AC| = √((-41)^2 + 7^2 + 11^2) = √(1681 + 49 + 121) = √1851

Тепер обчислимо площу грані:

Площа грані = 1/2 * |AB x AC| = 1/2 * √1851

Тепер, для обчислення об'єму піраміди АВСІ, нам потрібно знайти висоту піраміди від вершини I до грані ABC. Для цього ми можемо використовувати проекцію вектора AI на вектор, який перпендикулярний грані ABC (це вектор AB x AC).

Проекція вектора AI на вектор AB x AC обчислюється за формулою:

Проекція AI на AB x AC = (AI · AB x AC) / |AB x AC|, де · - це скалярний добуток векторів AI і AB x AC.

Спершу знайдемо вектор AI:

AI = I - A = (0 - 1, 0 - 2, 0 - 5) = (-1, -2, -5)

Тепер обчислимо скалярний добуток AI і AB x AC:

AI · AB x AC = (-1 * (-41) + (-2) * 7 + (-5) * 11) = (41 - 14 - 55) = -28

Тепер обчислимо проекцію AI на AB x AC:

Проекція AI на AB x AC = (-28) / √1851

Тепер можемо обчислити об'єм піраміди:

Об'єм піраміди = (1/3) * Площа грані * Проекція AI на AB x AC

Об'єм піраміди = (1/3) * (1/2 * √1851) * (-28 / √1851) = -14/3

Отже, площа грані ABC дорівнює 1/2 * √1851, а об'єм піраміди ABCI дорівнює -14/3.