Question

Вершини піраміди знаходяться у точках A, B, C і D. Обчислити: а) Довжину ребра АВ; б) Кут між ребрами АВ і АС; в) площу грані АВС; d) об'єм піраміди АБСД. A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4)

Answer 1

Вершини піраміди знаходяться у точках:

A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).

Обчислити: а) Довжину ребра АВ;

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).

Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.

б) Кут між ребрами АВ і АС;

Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.

Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).

Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.

cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609

Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.                    

в) площу грані АВС;

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =

=  i        j        k|        i          j

-11     -10     -5|      -11       -10

-5     -8       -3|     -5        -8   =   30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =

                                       =   -10i - 8j + 38k.

Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.

Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.

d) об'єм піраміди АБСД.

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

АВ хАС = (-10; - 8;  38),

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4;  -12),

           |AD) = √164 ≈ 12,80625.

ABxAC    =    -10      -8       38

     АD    =     -2       -4       -12

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.

Answer 2

Для обчислення величин, які вас цікавлять, найзручніше використовувати вектори і геометричні властивості піраміди.

а) Довжина ребра AB може бути обчислена як довжина вектора AB, який є різницею координат від B до A:

AB = (7 - (-4), 5 - (-5), 8 - 3) = (11, 10, 5)

Довжина ребра AB = √(11^2 + 10^2 + 5^2) = √(121 + 100 + 25) = √(246) ≈ 15.66 одиниць.

б) Для обчислення кута між ребрами AB і AC, використаємо скалярний добуток векторів AB і AC, а потім використаємо властивості скалярного добутку:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

AB · AC = (11 * 2) + (10 * (-3)) + (5 * 5) = 22 - 30 + 25 = 17

|AB| = √(11^2 + 10^2 + 5^2) = √(246) ≈ 15.66

|AC| = √(2^2 + (-3)^2 + 5^2) = √(4 + 9 + 25) = √(38) ≈ 6.16

cos(θ) = 17 / (15.66 * 6.16)

θ = arccos(17 / (15.66 * 6.16))

θ ≈ 68.93 градуси.

в) Площа грані ABC може бути обчислена за допомогою піввекторного добутку векторів AB і AC, або можна використовувати правило площини:

Площа грані ABC = 1/2 * |AB × AC|, де × позначає векторний добуток.

AB × AC = |i j k| |11 10 5| |2 -3 5|

AB × AC = i(10 * 5 - (-3) * 5) - j(11 * 5 - 2 * 5) + k(11 * (-3) - 10 * 2) AB × AC = i(50 + 15) - j(55 - 10) + k(-33 - 20) AB × AC = i(65) - j(45) - k(53)

|AB × AC| = √(65^2 + 45^2 + 53^2) ≈ 93.93

Площа грані ABC = 1/2 * 93.93 ≈ 46.97 квадратних одиниць.

г) Об'єм піраміди можна обчислити за допомогою формули:

Об'єм піраміди = (1/3) * Площа грані ABC * Відстань від грані ABC до вершини D

Для обчислення відстані від грані ABC до вершини D, можна використовувати проекцію вектора AD на нормаль до грані ABC (вектор, отриманий з векторного добутку AB і AC):

N = AB × AC = (65)i - (45)j - (53)k

Відстань від грані ABC до вершини D = |(AD · N) / |N||

Спершу знайдемо вектор AD:

AD = (5 - (-4), 1 - (-5), (-4) - 3) = (9, 6, -7)

Тепер знайдемо відстань:

AD · N = (9 * 65) - (6 * 45) - (-7 * 53) = 585 - 270 + 371 = 686

|N| = √(65^2 + 45^2 + 53^2) ≈ 93.93

|AD · N| = |686 / 93.93| ≈ 7.30

Тепер можна обчислити об'єм піраміди:

Об'єм піраміди = (1/3) * 46.97 * 7.30 ≈ 111.54 кубічних одиниць.

Отже, відповіді:

а) Довжина ребра AB ≈ 15.66 одиниць. б) Кут між ребрами AB і AC ≈ 68.93 градуси. в) Площа грані ABC ≈ 46.97 квадратних одиниць. г) Об'єм піраміди ABCD ≈ 111.54 кубічних одиниць.