Question

Запишите уравнение плоскости в виде x+By+Cz+D=0, проходящей через точку M1(−10,−1,15) перпендикулярно двум плоскостям: 9x+2y+z+19=0; 19x+3y+2z−2=0. В ответ введите числа B;C;D, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Для начала надо найти скалярное произведение нормальных векторов плоскостей. Нормальными векторами будут m {9, 2, 1} и n {19, 3, 2}.

Теперь нужно записать векторное произведение:

$\vec{m} * \vec{n} = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\m_{x}&m_{y}&m_{z}\\n_{x}&n_{y}&n_{z}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\9&2&1\\19&3&2\end{array}\right] = \\\\\\= \vec{i}\left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&2\end{array}\right] -\vec{j}\left[\begin{array}{ccc}9&1\\19&2\end{array}\right] + \vec{k}\left[\begin{array}{ccc}9&2\\19&3\end{array}\right] = \vec{i} + \vec{j} -11 \vec{k}$

Плоскость, проходящая через точку M1, будет иметь такое уравнение:

$1(x + 10) + 1(y + 1) - 11(z - 15) = 0 \\x + 10 + y + 1 - 11z + 165 = 0 \\x + y - 11z + 176 = 0$

Ответ: 1;-11;176

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости в виде x + By + Cz + D = 0, проходящей через точку M1(-10, -1, 15) и перпендикулярной двум плоскостям, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем направляющий вектор нормали для плоскости, которая перпендикулярна данным двум плоскостям. Для этого возьмем векторное произведение нормалей этих плоскостей.

2. Используем направляющий вектор нормали и точку M1, чтобы найти константы B, C и D в уравнении плоскости.

Плоскость 1: 9x + 2y + z + 19 = 0 имеет нормальный вектор (9, 2, 1).

Плоскость 2: 19x + 3y + 2z - 2 = 0 имеет нормальный вектор (19, 3, 2).

Теперь найдем векторное произведение нормалей плоскостей:

Нормальный вектор плоскости, перпендикулярной данным двум плоскостям: N = (9, 2, 1) × (19, 3, 2).

N = ((22 - 31), (119 - 22), (93 - 191)) = (4 - 3, 19 - 4, 27 - 19) = (1, 15, 8).

Теперь у нас есть направляющий вектор нормали для искомой плоскости. Теперь найдем константы B, C и D:

Уравнение плоскости имеет вид: x + By + Cz + D = 0.

Используя точку M1(-10, -1, 15), подставим ее в уравнение:

-10 + B*(-1) + C*15 + D = 0.

Теперь подставим направляющий вектор нормали (1, 15, 8) в уравнение плоскости:

1*(-10) + 15*(-1) + 8*15 + D = 0.

Упростим уравнения:

-10 - B + 15C + D = 0, -10 - 15 + 120 + D = 0.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. -B + 15C + D = 10,
2. 105 + D = 0.

Решим эту систему уравнений. Из уравнения 2 следует, что D = -105. Теперь подставим D в уравнение 1:

-B + 15C - 105 = 10.

Перегруппируем члены:

-B + 15C = 10 + 105, -B + 15C = 115.

Теперь выразим B:

B = 15C - 115.

Итак, у нас есть уравнение плоскости в виде x + By + Cz + D = 0:

x + (15C - 115)y + Cz - 105 = 0.

Итак, искомые значения B, C и D равны:

B = 15, C = 115, D = -105.

Ответ: B;C;D = 15;115;-105.