Question

1.Точка N не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки М, Р и К середины отрезков NA, NB и NC соответственно. Точка L принадлежит отрезку СК. Выяснить взаимное расположение прямых и плоскостей и обосновать (доказать): 2.Все ребра тетраэдра равны 2 . Найти площадь поверхности тетраэдра.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и AC; е) MD и ВС.

34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и AC; е) MD и ВС.

а)

б)

поскольку PK не параллельна ВС;

в)

поскольку MN - средняя линия;

г)

поскольку МР - средняя линия;

д)

- скрещиваются, так как не параллельны и не пересекаются;

е)

- скрещиваются, так как не лежат в одной плоскости.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба вопроса по порядку.

1. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Имеем треугольник ABC и точку N, не лежащую в его плоскости. Точки M, P и K - середины соответствующих сторон. Также есть точка L, принадлежащая отрезку CK. Нам нужно выяснить взаимное расположение прямых и плоскостей.

Обозначения:

• $ABC$ - треугольник.
• $N$ - точка вне плоскости $ABC$.
• $M, P, K$ - середины отрезков $NA, NB, NC$ соответственно.
• $L$ - точка на отрезке $CK$.

Утверждения:

1. Прямые $MK$ и $LP$ пересекаются в точке $X$.
2. Точка $X$ лежит вне плоскости треугольника $ABC$.

Доказательство:

1. Так как $M, P, K$ - середины сторон треугольника, прямые $MK$ и $LP$ проходят через вершины треугольника, следовательно, они пересекаются в некоторой точке $X$.

2. Предположим, что точка $X$ лежит внутри плоскости треугольника $ABC$. Тогда она также лежит на плоскости треугольника $ABC$, и, следовательно, на плоскости $ABC$ лежит прямая $LP$. Но это противоречит условию, что точка $L$ лежит на отрезке $CK$ и, следовательно, вне плоскости $ABC$.

Таким образом, точка $X$ лежит вне плоскости треугольника $ABC$, что и требовалось доказать.

2. Площадь поверхности тетраэдра.

Утверждается, что все ребра тетраэдра равны 2. Пусть $AB = BC = CA = CD = DA = BD = 2$.

Формула площади поверхности тетраэдра:

$S = S_{ABC} + S_{ACD} + S_{ADB} + S_{BDC},$

где $S_{ABC}, S_{ACD}, S_{ADB}, S_{BDC}$ - площади четырех граней тетраэдра.

Доказательство:

1. Поскольку $ABC$ - равносторонний треугольник со стороной 2, его площадь $S_{ABC}$ можно вычислить по формуле для площади равностороннего треугольника:

$S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (AB)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3}.$

2. Так как $ACD$, $ADB$ и $BDC$ - равносторонние треугольники со стороной 2, их площади равны:

$S_{ACD} = S_{ADB} = S_{BDC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \sqrt{3}.$

3. Теперь подставим значения в формулу для площади поверхности тетраэдра:

$S = \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$

Таким образом, площадь поверхности тетраэдра равна $4\sqrt{3}$.