Question

Прямая AB перпендикулярна прямым BD и BC, принадлежащим плоскости α. Найдите длину наклонной AC, если AD + AC = 15, BD = 7, BC = 2.​

Answer 1

Ответ:

Длина наклонной АС = 6.

Пошаговое объяснение:

ДАНО:

АВ ⊥ ВD

АВ ⊥ ВС

ВD ⊂ α, ВС ⊂ α

АD + АС = 15

ВD = 7

ВС = 2

НАЙТИ: АС - ?

РЕШЕНИЕ:

Поскольку АВ ⊥ ВD и АВ ⊥ ВС, образуются два прямоугольных треугольника с общим катетом АВ.

Пусть АС = x, тогда из условия АD + АС = 15

АD = 15 - АС = 15 - x

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из треугольника ABC (∠B = 90°) по теореме Пифагора найдем АВ²:

АВ² = АС² - ВС²

АВ² = x² - 2²

АВ² = x² - 4

Из треугольника ABD (∠B = 90°) по теореме Пифагора найдем АВ²:

АВ² = AD² - BD²

АВ² = (15 - x)² - 7²

АВ² = 225 - 30x + x² - 49

АВ² = x² - 30x + 176

В полученных равенствах левые части равны, значит мы можем приравнять их правые части:

x² - 4 = x² - 30x + 176

x² - x² + 30x = 4 + 176

30x = 180

x = 180 : 30

x = 6

То есть длина наклонной АС = 6.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами перпендикулярных прямых в трехмерном пространстве и теоремой Пифагора.

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна прямым $BD$ и $BC$, то треугольник $ABC$ прямоугольный. Пусть $AC = x$. Тогда, согласно теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

$x^2 = AD^2 + BD^2$

Мы знаем, что $AD + AC = 15$ и $BD = 7$. Подставим $AD = 15 - x$ в уравнение выше:

$x^2 = (15 - x)^2 + 7^2$

Разложим квадрат справа:

$x^2 = 225 - 30x + x^2 + 49$

Теперь упростим уравнение:

$0 = 274 - 30x$

$30x = 274$

$x = \frac{274}{30}$

$x = \frac{137}{15} = \frac{9\frac{2}{15}}{15} = \frac{9}{15} + \frac{2}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$

Таким образом, длина наклонной $AC$ равна $\frac{13}{15}$ или $0.8667$ (округлено до четырех знаков после запятой).