Question

Тpебуется изготовить открытый сверху цилиндpи- ческий сосуд заданного объема V = 64π см3. Опpеде- лить pадиус и высоту сосуда так, чтобы его повеpх- ность была наименьшей.

Answer 1

Ответ:

Чтобы поверхность цилиндра была наименьшей, радиус будет равен 4 см, высота равна 4 см.

Пошаговое объяснение:

Тpебуется изготовить открытый сверху цилиндpический сосуд заданного объема V = 64π см3. Опpеделить pадиус и высоту сосуда так, чтобы его повеpхность была наименьшей.

Объем цилиндра равен:

$V = S_{OCH}\cdot{h}=\pi r^2h$

где r - радиус основания; h - высота цилиндра.

64π = πr²h

64 = r²h

Выразим высоту:

$\displaystyle h=\frac{64}{r^2}$

Поверхность данного цилиндра складывается из площади основания и площади боковой поверхности.

Sпов = Sосн + Sбок

Sпов = πr² + 2πrh

Обозначим Sпов = S

Подставим значение h:

$\displaystyle S = \pi r^2+2\pi r\cdot\frac{64}{r^2} =\pi r^2+\frac{128\pi }{r}$

Для нахождения наименьшей поверхности, найдем производную:

$\displaystyle S'=\pi \cdot2r-\frac{128\pi }{r^2}=\frac{2\pi r^3-128\pi }{r^2} =\frac{2\pi (r^3-64)}{r^2}$

Приравняем к нулю и найдем знак производной на промежутках.

r³ - 64 = 0;  

r = 4;    r ≠ 0

Меньше нуля значения рассматривать не будем, так как радиус величина положительная.

(0)----------[4]++++++++++

• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум.

Значит минимальный радиус равен 4 см.

Тогда высота будет равна

$\displaystyle h=\frac{64}{r^2}=\frac{64}{16}=4\;_{(CM)}$

Чтобы поверхность цилиндра была наименьшей, радиус будет равен 4 см, высота равна 4 см.

Наименьшая площадь поверхности данного цилиндра будет равна:

Sпов = πr² + 2πrh = π · 16 + 2π · 4 · 4 = 48π (см²)

Answer 2

Для нахождения радиуса и высоты цилиндрического сосуда с наименьшей поверхностью при заданном объеме V = 64π см³, мы можем использовать принцип оптимизации. Поверхностная площадь цилиндра S выражается как:

S = 2πr² + 2πrh,

где r - радиус цилиндра, h - его высота.

Мы хотим минимизировать S при заданном объеме V. Объем цилиндра V выражается как:

V = πr²h.

Теперь мы можем выразить высоту h через радиус r из уравнения объема:

h = V / (πr²).

Теперь подставим это выражение для h в уравнение для S:

S = 2πr² + 2πr(V / (πr²)) = 2πr² + 2V / r.

Для нахождения минимума S, мы можем взять производную S по r и приравнять ее к нулю:

dS/dr = 4πr - 2V / r² = 0.

Теперь решим это уравнение относительно r:

4πr - 2V / r² = 0.

Умножим обе стороны на r²:

4πr³ - 2V = 0.

Теперь выразим r³:

4πr³ = 2V, r³ = 2V / (4π), r³ = V / (2π).

Теперь найдем радиус r:

r = (V / (2π))^(1/3).

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем найти высоту h, используя уравнение для объема:

h = V / (πr²).

Подставим значение r:

h = (V / (π((V / (2π))^(1/3))²).

Теперь у нас есть выражения для радиуса и высоты сосуда, которые минимизируют его поверхность при заданном объеме V = 64π см³:

r = (64π / (2π))^(1/3) = 4^(1/3) см, h = (64π / (π(4^(1/3))^2)) = (64 / (4^(2/3))) см.

Вычислим значения:

r ≈ 3.08 см, h ≈ 4.62 см.

Таким образом, радиус цилиндра должен быть около 3.08 см, а его высота около 4.62 см, чтобы минимизировать его поверхность при заданном объеме V = 64π см³.