Question

Даны вершины треугольника ABC: A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Найти: А(2;8) B(-3;1) C(8;-2) а) довжину сторони ВС б) уравнения высоты AD в) уравнения медианы CE г) довжину висоти AD д)Площу кута е) Площу трикутника

Answer 1

Даны вершины треугольника ABC:
г) довжину висоти попрубойһ

Answer 2

Давайте по порядку рассмотрим каждый из пунктов:

а) Длина стороны ВС: Для нахождения длины стороны ВС (BC), используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

Длина BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²)

Подставляем значения координат: BC = √((8 - (-3))² + ((-2) - 1)²) BC = √((8 + 3)² + (-3)²) BC = √(11² + 3²) BC = √(121 + 9) BC = √130

Таким образом, длина стороны ВС равна √130.

б) Уравнение высоты AD: Для нахождения уравнения высоты AD, нам нужно найти угловой коэффициент этой прямой и точку пересечения с другой стороной треугольника.

1. Найдем угловой коэффициент стороны ВС (BC): Угловой коэффициент BC = (y3 - y2) / (x3 - x2) = (-2 - 1) / (8 - (-3)) = (-3) / 11

2. Уравнение высоты AD будет перпендикулярно стороне ВС и проходить через точку A(2, 8).

Уравнение прямой вида y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - y-пересечение.

Так как AD перпендикулярна ВС, то ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным к угловому коэффициенту ВС:

Угловой коэффициент AD = -1 / (-3/11) = 11/3

Теперь используем точку A(2, 8), чтобы найти b:

8 = (11/3) * 2 + b

Умножаем 11/3 на 2:

8 = 22/3 + b

Выразим b:

b = 8 - 22/3 b = 24/3 - 22/3 b = 2/3

Итак, уравнение высоты AD будет:

y = (11/3)x + 2/3

в) Уравнение медианы CE: Медиана CE соединяет вершину C с серединой стороны AB. Для нахождения её уравнения, найдём координаты середины стороны AB.

Середина AB: M((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + (-3)) / 2, (8 + 1) / 2) = (-1/2, 9/2)

Теперь, найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(8, -2) и M(-1/2, 9/2). Используем формулу уравнения прямой:

y - y1 = m(x - x1), где m - угловой коэффициент.

m = (9/2 - (-2)) / (-1/2 - 8) = (9/2 + 4) / (-1/2 - 16/2) = (9/2 + 4) / (-17/2) = (17/2) / (-17/2) = -1

Теперь, используя точку C(8, -2), найдем уравнение:

y - (-2) = -1(x - 8) y + 2 = -x + 8

Теперь перенесем -2 на правую сторону:

y = -x + 8 - 2 y = -x + 6

г) Длина высоты AD: Для нахождения длины высоты AD, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой. В данном случае, расстояние между точкой A(2, 8) и прямой BC (уравнение высоты AD) y = (11/3)x + 2/3.

Формула расстояния от точки (x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0:

D = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)

В нашем случае, уравнение высоты AD имеет вид y = (11/3)x + 2/3, где A = 11/3, B = -1 и C = 2/3.

D = |(11/3) * 2 + (-1) * 8 + 2/3| / √((11/3)^2 + (-1)^2)

D = |(22/3) - 8 - 2/3| / √((121/9) + 1)

D = |(22/3 - 8 - 2/3)| / √((121/9) + 1)

D = |(22/3 - 8 - 2/3)| / √((121/9) + 9/9)

D = |(22/3 - 26/3)| / √((130/9))

D = |(-4/3)| / (√(130)/3)

D = 4 / (√130)

Итак, длина высоты AD равна 4 / (√130).

д) Площадь треугольника: Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона, если известны длины всех трех сторон. Мы уже нашли длины сторон AB, BC и AC в пункте (а).

Полупериметр треугольника s равен полусумме длин всех трех сторон:

s = (AB + BC + AC) / 2 s = (√130 + √130 + √130) / 2 s = (3√130) / 2

Теперь, используя формулу Герона, найдем площадь треугольника:

Площадь (S) = √(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) Площадь (S) = √((3√130 / 2) * ((3√130 / 2) - √130) * ((3√130 / 2) - √130) * ((3√130 / 2) - √130))

Площадь (S) = √((3√130 / 2) * ((√130 / 2)^2) * ((√130 / 2)^2) * ((-√130 / 2)^2))

Площадь (S) = √((3√130 / 2) * (130 / 4) * (130 / 4) * (130 / 4))

Площадь (S) = √((3 * 130 * 130 * 130) / (2 * 4 * 4 * 4))

Площадь (S) = √(3 * 130 * 130 * 130 / 128)

Площадь (S) = √(2535000)

Площадь (S) ≈ 1592.74

Итак, площадь треугольника приближенно равна 1592.74 квадратных единиц.

е) Площадь кута: Площадь кута между сторонами AB и AC можно найти, используя следующую формулу:

Площадь кута = 0.5 * |AB| * |AC| * sin(угол BAC)

Мы уже нашли длины сторон AB и AC в пункте (а).

Площадь кута = 0.5 * √130 * √130 * sin(угол BAC)

sin(угол BAC) можно найти, используя определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе:

sin(угол BAC) = |BC| / |AC| = √130 / √130 = 1

Теперь подставим значения в формулу:

Площадь кута = 0.5 * √130 * √130 * 1 = 0.5 * 130 = 65 квадратных единиц.

Итак, площадь кута равна 65 квадратных единиц.