Question

Спростіть вираз: (1+tg^2(x))*sin^2(x)

Answer 1

Решение.

Применяем основные тригонометрические тождества.

$\bf (\underbrace{1+tg^2x}_{\frac{1}{cos^2x}})\cdot sin^2x=\dfrac{1}{cos^2x}\cdot sin^2x=\Big(\dfrac{sinx}{cosx}\Big)^2=tg^2x$  

Answer 2

Щоб спростити вираз $(1 + \tan^2(x)) \cdot \sin^2(x)$, скористаємося тригонометричним тотожністю $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$. Також можемо використати тотожність $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Почнемо з виразу $\tan^2(x) + 1$:

$\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$

Тепер підставимо це у вихідний вираз:

$(1 + \tan^2(x)) \cdot \sin^2(x) = (\sec^2(x)) \cdot \sin^2(x)$

Тепер можна скористатися визначенням $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$:

$(\sec^2(x)) \cdot \sin^2(x) = \left(\frac{1}{\cos^2(x)}\right) \cdot \sin^2(x)$

А тепер використаємо тотожність $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$:

$\left(\frac{1}{\cos^2(x)}\right) \cdot \sin^2(x) = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)}$

Це є спрощений вираз для заданого виразу $(1 + \tan^2(x)) \cdot \sin^2(x)$.