Question

Прямокутний кусок жесті має розміри 32 см х 20 см. У кутах вирізають рівні квадрати, а з частини, що залишилася, виготовляють відкриту коробку. Якою має бути довжина сторони вирізаних квадратів щоб обєм коробки був найбільшим ​

Answer 1

размеры коробки a; (20-2a); (32-2a)
V=a*(20-2a)*(32-2a)=4a*(10-a)*(16-a)
f(a)=a*(10-a)*(16-a)=a(160-26a+a^2)=a^3-26a^2+160a
f'(a)=3a^2-52a+160
f'(a)=0
3a^2-52a+160=0
a=(26+-14)/3
a1=40/3
a2=4
f''(a)=6a-52
f''(4)=24-52<0 в точке а=4 имеется максимум.
сторона квадрата 4 см, максимальный объем коробки 1152 см^3

Answer 2

Щоб знайти довжину сторони вирізаних квадратів, потрібно максимізувати об'єм коробки. Давайте позначимо довжину сторони вирізаних квадратів як $x$.

1. Об'єм відкритої коробки: $V = x(32-2x)(20-2x)$

2. Знайдемо коефіцієнти у виразі об'єму: $V = 4x(16-x)(10-x)$

3. Знайдемо критичні точки, при яких $\frac{dV}{dx} = 0$: $\frac{dV}{dx} = 4(16-x)(10-x) + 4x(10-x) + 4x(16-x)$ Знайдемо $x$ для $\frac{dV}{dx} = 0$.

4. Розв'яжемо рівняння $\frac{dV}{dx} = 0$ для $x$.

5. Знайдемо другу похідну $\frac{d^2V}{dx^2}$ та перевіримо її знаки в окремих інтервалах, щоб визначити, чи є знайдені точки максимумами або мінімумами.

6. Знайдемо значення $V$ для знайдених критичних точок та порівняємо їх, щоб знайти максимальний об'єм.

Дії за кроками 3-6 можна виконати числово, використовуючи калькулятор чи програму для обчислення числових значень.