Question

Решите в натуральных числах уравнение x^2+x=y^2+2y-9. В качестве ответа укажите квадрат наибольшего из найденных значений y.

Answer 1

В пределах натуральных чисел до 50 имеется только 2 решения.

x  x^2+x  y^2 2y -9 C  D  VD     y1  y2  y^2+2y-9

2 6           -15 64 8         -5   3   6

9 90            -99 400 20          -11   9   90.

Ответ: 1) х = 2, у = 3,

            2) х = 9, у = 9.

Answer 2

Давайте перепишем уравнение, чтобы выразить y:

x^2 + x = y^2 + 2y - 9

x^2 + x - y^2 - 2y + 9 = 0

Теперь попробуем решить это уравнение, считая y переменной:

y^2 + 2y - (x^2 + x - 9) = 0

Для нахождения целых значений y, дискриминант должен быть полным квадратом некоторого целого числа. Поскольку это квадратное уравнение второй степени, нам нужно, чтобы дискриминант был точным квадратом, то есть D = m^2, где m - целое число.

Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В данном случае a = 1, b = 2, c = -(x^2 + x - 9).

D = 4 - 4(x^2 + x - 9)

D = -4x^2 - 4x + 40

Мы хотим, чтобы D было точным квадратом. Поскольку у нас есть коэффициент -4, давайте поделим все на -4, чтобы упростить:

D = x^2 + x - 10

Теперь нам нужно найти такие натуральные числа x, что x^2 + x - 10 является точным квадратом.

Попробуем некоторые значения x:

Для x = 1: D = 1^2 + 1 - 10 = -8 (не является точным квадратом) Для x = 2: D = 2^2 + 2 - 10 = 2 (не является точным квадратом) Для x = 3: D = 3^2 + 3 - 10 = 8 (является точным квадратом)

Таким образом, когда x = 3, D = 8, что является точным квадратом (2^2).

Теперь найдем соответствующее значение y:

y^2 + 2y - (x^2 + x - 9) = 0 y^2 + 2y - (3^2 + 3 - 9) = 0 y^2 + 2y - 1 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня:

y = (-2 + sqrt(5)) или y = (-2 - sqrt(5))

Так как y должно быть натуральным числом, мы берем только положительный корень:

y = -2 + sqrt(5)

Квадрат наибольшего из найденных значений y:

( -2 + sqrt(5) )^2 ≈ 8.88

Итак, квадрат наибольшего найденного значения y примерно равен 8.88.