Question

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0y фігури, яка обмежена лініями y²=x, y= -x

Answer 1

Ответ:

Объем тела равен   $\displaystyle \boldsymbol {\frac{2\pi }{15} }$  ед³

Пошаговое объяснение:

Формула для вычисления объема

$\displaystyle V = \pi \int\limits^a_b {\bigg(x_2^2(y)-x_1^2(y)\bigg)} \, dx$

Делаем чертеж, получаем фигуру и пределы интегрирования.

Выразим функции в виде  х²(y).

y₁²=x₁        x₁² = (y₁)⁴

y₂ = -x₂    x₂² = (-y₂)²

Объем нашего тела - это объем конуса (y₂=-x₂)  минус объем параболоида (y₁²=x₁ )

Рассчитаем объем

$\displaystyle V=\pi \int\limits^0_{-1} {\bigg((x_2(y))^2-(x_1(y))^2\bigg)} \, dy =\pi \int\limits^0_{-1} {\bigg(y^2-y^4\bigg)} \, dy=\pi \bigg(\frac{y^3}{3} \bigg|_{-1}^0-\frac{y^5}{5} \bigg|_{-1}^0\bigg)=\\\\\\=\pi \bigg(\frac{1}{3} -\frac{1}{5} \bigg)=\frac{2}{15} \pi$

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури обмеженої лініями y² = x і y = -x навколо осі Oy, ми можемо скористатися методом обертання (пряма обертання).

Спочатку ми знайдемо точки перетину цих двох кривих:

1. Розв'яжемо рівняння y² = x для x: x = y²

2. Розв'яжемо рівняння y = -x для x: x = -y

Тепер ми можемо знайти границі інтегрування. Границі будуть залежати від того, яка з кривих перебуває праворуч і ліворуч від осі Oy.

Для обчислення об'єму оберненого обертання за допомогою методу обертання, використовується інтеграл об'єму:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(y)]^2 - [g(y)]^2 \, dy$

де:

• $\pi$ - число пі (приблизно 3.14159265...)
• $f(y)$ - верхня функція (в даному випадку $f(y) = y^2$)
• $g(y)$ - нижня функція (в даному випадку $g(y) = -y$)
• $a$ і $b$ - границі інтегрування (точки перетину кривих)

Знайдемо границі інтегрування $a$ і $b$. Оскільки $y^2 = x$ і $y = -x$ перетинаються при $x = y^2 = -y$, то границі будуть від -1 до 1 (бо $-1 \leq y \leq 1$).

Тепер ми можемо обчислити об'єм:

$V = \pi \int_{-1}^{1} (y^2)^2 - (-y)^2 \, dy$

$V = \pi \int_{-1}^{1} (y^4 - y^2) \, dy$

$V = \pi \left[ \frac{y^5}{5} - \frac{y^3}{3} \right]_{-1}^{1}$

$V = \pi \left( \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{-1}{5} + \frac{1}{3} \right) \right)$

Тепер обчислимо це значення:

$V = \pi \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right)$

$V = \pi \left( \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right)$

$V = \pi \left( \frac{6}{15} - \frac{10}{15} \right)$

$V = \pi \left( -\frac{4}{15} \right)$

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями $y^2 = x$ і $y = -x$ навколо осі $Oy$, дорівнює $-\frac{4}{15}\pi$.