Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, яка обмежена лініями: y = x^2 – 4; y = 0.

Answer 1

См. график

$V=\pi\int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx =\pi\int\limits^2_{-2} {(x^2-4)^2} \, dx=\pi\int\limits^2_{-2} {x^4-8x^2+16} \, dx =\\\\=\pi(\frac{x^5}{5}-8*\frac{x^3}{3}+16x)\mid^2_{-2}=\pi((\frac{2^5}{5}-\frac{8*2^3}{3}+16*2)- (\frac{(-2)^5}{5}-\frac{8*(-2)^3}{3}+16*(-2))=\\\\ =\pi(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32-(-\frac{192}{5}+\frac{64}{3}))=\frac{512\pi}{15}$

Answer 2

Щоб обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури навколо осі ОХ, ми можемо скористатися формулою об'єму циліндра. Але перш за все, нам потрібно знайти межі інтегрування для x.

Запишемо рівняння кривої y = x^2 - 4 і рівняння y = 0:

x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Отже, наше x змінюється від -2 до 2.

Тепер ми можемо обчислити об'єм, використовуючи формулу об'єму циліндра:

V = ∫[a,b] πy^2 dx

де a і b - межі інтегрування, в нашому випадку -2 і 2.

V = ∫[-2,2] π(x^2 - 4)^2 dx

Тепер виконаємо обчислення:

V = π∫[-2,2] (x^2 - 4)^2 dx

= π∫[-2,2] (x^4 - 8x^2 + 16) dx

= π[1/5 x^5 - 8/3 x^3 + 16x]│[-2,2]

= π[(1/5 * 2^5 - 8/3 * 2^3 + 16 * 2) - (1/5 * (-2)^5 - 8/3 * (-2)^3 + 16 * (-2))]

= π[(32/5 - 64/3 + 32) - (32/5 + 64/3 - 32)]

= π[(32/5 - 32/5) + (-64/3 + 64/3) + (32 - 32)]

= π[0 + 0 + 0]

Отже, об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ даної фігури, дорівнює 0.