Question

Дослідити на монотонність та екстремуми y=x^4+4x-62

Answer 1

Ответ:

Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].

Функція  зростає, якщо х∈[-1;+∞).

Xmin=-1, Ymin=-65

Пошаговое объяснение:

y=x⁴+4x-62

1. Знайдемо область визначення функції і інтервали на яких функція неперервна

Обл. визначення: R

Функція неперервна для х∈R

2. Знайдемо похідну функції

у' = 4x³+4

3. Знайдемо критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує)

у' =0

4x³+4=0

4x³=-4

x³=-1

х=-1

у' =0 якщо х=-1

х=-1 - критична точка

4. У кожному інтервалі, на які область визначення функції розбивається критичними точками, визначаємо знак похідної і характер зміни функції

Перевіримо знак похідної, для цього підставимо точки з інтервалів у рівняння похідної.

Два інтервала:

(-∞;-1]: у' (-2) = 4*(-2)³+4=-32+4=-28, у' <0 ⇒ функція спадає.

[-1;+∞): у' (0) = 4*(0)³+4= 0+4= 4 у' >0 ⇒ функція зростає.

5. Відносно кожної критичної точки визначити чи є вона точкою максимума, мінімума або не є точкою екстремума

• Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції додатна, а справа від неї від’ємна, то дана точка є точкою максимуму функції.
• Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції від’ємна, а справа від неї додатна, то дана точка є точкою мінімуму функції.

⇒ х=-1 точка мінімума

у(-1)=(-1)⁴+4(-1)-62=1-4-62=-65

Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].

Функція  зростає, якщо х∈[-1;+∞).

Xmin=-1, Ymin=-65

Answer 2

Ответ:

на интервале  (-∞; -1)   функция убывает

на интервале  (-1;  +∞)    функция возрастает

точка x = (-1)  - точка минимума.

Пошаговое объяснение:

y= x⁴ + 4x - 62

Первая производная

y' = 4x³ + 4 = 4(х³+1)

х³+1 = 0

х ³ = -1

х = -1     это критичесая точка.

Монотонность.

Рассмотрим знаки первой производной на интервалах.

(-∞; -1) f'(-2) = -28  < 0, значит  функция убывает

(-1;  +∞)    f'(0) = 4       > 0, значит    функция возрастает

Экстремумы.

В окрестности точки x = (-1) первая производная  меняет знак с "-" на "+", следовательно, точка x = (-1)  - точка минимума.

Answer 3

Для дослідження монотонності та знаходження екстремумів функції $y = x^4 + 4x - 62$, спочатку давайте визначимо похідні першого та другого порядків цієї функції.

Похідна першого порядку $y'$ визначається як:

$y' = \frac{d}{dx} (x^4 + 4x - 62)$

$y' = 4x^3 + 4$

Тепер, щоб знайти критичні точки, вирівняємо похідну $y'$ до нуля:

$4x^3 + 4 = 0$

Потім розв'яжемо це рівняння:

$4x^3 = -4$

$x^3 = -1$

$x = -1$

Отже, ми знайшли критичну точку $x = -1$.

Тепер давайте визначимо похідну другого порядку $y''$ для дослідження екстремумів. Похідна другого порядку визначається як:

$y'' = \frac{d^2}{dx^2} (4x^3 + 4)$

$y'' = 12x^2$

Знаючи $x = -1$, вставимо це значення в другу похідну:

$y''(-1) = 12(-1)^2 = 12$

Похідна другого порядку $y''$ при $x = -1$ дорівнює 12, що більше нуля. Це означає, що точка $x = -1$ є мінімальним значенням функції $y$.

Тепер давайте визначимо монотонність функції. Оскільки ми знайшли, що точка $x = -1$ є мінімумом функції, то ця функція є монотонно зростаючою на інтервалі $(-\infty, -1)$ і монотонно спадаючою на інтервалі $(-1, \infty)$.

Узагальнюючи, функція $y = x^4 + 4x - 62$ має мінімум при $x = -1$ і монотонно зростає на $(-\infty, -1)$ і монотонно спадає на $(-1, \infty)$.