Question

Дослідити монотонність та екстремуми будь ласка швидко, даю 45 балів​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Щоб дослідити монотонність та екстремуми функції, спочатку знайдемо її похідну:

$y' = -\frac{8}{x^3} - 1$

Для визначення точок екстремуму розв’язуємо рівняння:

$-\frac{8}{x^3} - 1 = 0$

$\frac{8}{x^3} = -1$

$x^3 = -8$

$x = -2$

Підставляємо значення x у другу похідну, щоб визначити тип екстремуму:

$y'' = \frac{24}{x^4}$

$y''(-2) = \frac{24}{(-2)^4} = 1.5 > 0$

Отже, точка (-2, 2) є точкою мінімуму.

Далі, аналізуємо знак першої похідної:

Якщо $x < -2$, то $y' < 0$, тому функція спадна на цьому інтервалі.

Якщо $x > -2$, то $y' > 0$, тому функція зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція має точку мінімуму в (-2, 2) та є спадною на інтервалі (-∞, -2) та зростаючою на інтервалі (-2, ∞).

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо дослідження монотонності та екстремумів функції.

Для початку, вам потрібно мати функцію, яку ви хочете дослідити. Давайте припустимо, що у нас є функція $f(x)$, і ми хочемо дослідити її монотонність та екстремуми.

1. Знаходження похідної: Спочатку знайдіть похідну функції $f(x)$, яка представляє швидкість зміни функції відносно $x$.

2. Знаходження точок, де похідна дорівнює нулю: Знайдіть точки, в яких похідна $f'(x)$ дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними точками.

3. Знаходження інтервалів монотонності: Розділіть весь діапазон значень $x$ на інтервали між критичними точками. Досліджуйте знак похідної $f'(x)$ на кожному інтервалі, щоб визначити, чи є функція монотонною на цьому інтервалі (зростає або спадає).

4. Знаходження екстремумів: В точках, де похідна дорівнює нулю, або на границях областей, де функція змінює монотонність (перетинає вісь $x$), перевірте, чи є ці точки екстремумами. Використовуйте другу похідну або тест на екстремуми для цього.

5. Підсумок: Визначте, на яких інтервалах функція монотонно зростає або спадає, та знайдіть всі екстремуми (мінімуми та максимуми) функції.

Цей підхід допоможе вам дослідити монотонність та знайти екстремуми вашої функції. Не забудьте врахувати, що цей процес може бути складним і вимагати вивчення конкретної функції та її властивостей.