Question

Найти все частные производные : z=x^2+3xy^2-15x-12y

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \boldsymbol {\frac{\partial z}{\partial x} = 2x +3y^2-15\;} \\\\\\\\boldsymbol {\frac{\partial z}{\partial y} = 6xy-12}\\\\\\\boldsymbol {\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=6y}$

Пошаговое объяснение:

Когда мы берем частную производную по х,  мы считаем константой у.

Так же для частной производной по у константа - это х.

Когда ищем частную производную по ху, берем частную производную по х и дифференцируем ее по у.

$\displaystyle z=x^2+3xy^2-15x-12y\\\\\\\frac{\partial z}{\partial x} = 2x +3y^2-15\\\\\\\frac{\partial z}{\partial y} = 6xy-12\\\\\\\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}= (2x +3y^2-15)'_y=6y$

#SPL1

Answer 2

Для нахождения частных производных функции $z(x, y) = x^2 + 3xy^2 - 15x - 12y$ по переменным $x$ и $y$, нужно взять производные по каждой переменной, рассматривая другую переменную как константу. Вот частные производные:

1. Частная производная по $x$ ($\frac{\partial z}{\partial x}$):

   • Производная $x^2$ по $x$ равна $2x$.
   • Производная $3xy^2$ по $x$ равна $3y^2$, так как $y^2$ является константой для $x$.
   • Производная $-15x$ по $x$ равна $-15$, так как $-15$ не зависит от $x$.
   • Производная $-12y$ по $x$ равна $0$, так как $-12y$ не зависит от $x$.

   Итак, суммируя все частные производные по $x$, получаем: $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y^2 - 15$.

2. Частная производная по $y$ ($\frac{\partial z}{\partial y}$):

   • Производная $x^2$ по $y$ равна $0$, так как $x^2$ не зависит от $y$.
   • Производная $3xy^2$ по $y$ равна $6xy$.
   • Производная $-15x$ по $y$ равна $0$, так как $-15x$ не зависит от $y$.
   • Производная $-12y$ по $y$ равна $-12$.

   Итак, суммируя все частные производные по $y$, получаем: $\frac{\partial z}{\partial y} = 6xy - 12$.

Это и есть частные производные функции $z$ по переменным $x$ и $y$.