Question

Астероид В-612 был замечен в телескоп лишь один раз, в 1909 году, одним турецким астрономом. Тот же турецкий астроном описал расстояние от Земли до астероида: у него получилась квадратичная функция s(t)=at^2+bt+c. Однако большая часть данных потерялась. Осталось известно только то, что расстояние было равно 41 млн.км при t=3, 20 млн.км при t=5 и достигло своего минимума при t=7. Найдите минимальное расстояние (в млн.км), на которое астероид приблизился к Земле.

Answer 1

$s(t)=at^2+bt+c$

Пусть значения $s(t)$ даются в млн.км.

По условию, расстояние было равно 41 млн.км при t=3:

$s(3)=41$

$a\cdot3^2+b\cdot3+c=41$

$9a+3b+c=41$

По условию, расстояние было равно 20 млн.км при t=5:

$s(5)=20$

$a\cdot5^2+b\cdot5+c=20$

$25a+5b+c=20$

По условию, расстояние достигло своего минимума при t=7. Квадратичная функция достигает своего минимума в вершине:

$t_{\min}=7$

$-\dfrac{b}{2a} =7$

Объединим три получившихся соотношения в систему:

$\begin{cases} 9a+3b+c=41 \\ 25a+5b+c=20 \\ -\dfrac{b}{2a} =7 \end{cases}$

Из третьего уравнения:

$b=-14a$

Подставим в оставшиеся уравнения:

$\begin{cases} 9a+3\cdot(-14a)+c=41 \\ 25a+5\cdot(-14a)+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} 9a-42a+c=41 \\ 25a-70a+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} -33a+c=41 \\ -45a+c=20 \end{cases}$

$\begin{cases} -33a+c=41 \\ 45a-c=-20 \end{cases}$

Сложим уравнения:

$12a=21$

$a=\dfrac{21}{12} =\dfrac{7}{4}$

Из любого уравнения выразим "с":

$c=41+33a$

$c=41+33\cdot\dfrac{7}{4}=41+\dfrac{231}{4}=41+57\dfrac{3}{4}=98\dfrac{3}{4}$

Найдем "b":

$b=-14\cdot\dfrac{7}{4} =-\dfrac{49}{2}$

Тогда, квадратичная функция имеет вид:

$s(t)=\dfrac{7}{4} t^2-\dfrac{49}{2} t+98\dfrac{3}{4}$

Минимум функции соответствует значению функции в вершине:

$s_{\min}=s(t_{\min})=s(7)=\dfrac{7}{4} \cdot7^2-\dfrac{49}{2} \cdot7+98\dfrac{3}{4}=$

$=\dfrac{343}{4} -\dfrac{343}{2} +98\dfrac{3}{4}=-\dfrac{343}{4} +98\dfrac{3}{4}=-85\dfrac{3}{4} +98\dfrac{3}{4}=13$

Таким образом, минимальное расстояние, на которое астероид приблизился к Земле, равно 13 млн.км

Ответ: 13 млн.км

Answer 2

Для нахождения минимального расстояния, на которое астероид приблизился к Земле, мы можем воспользоваться данными, которые нам даны.

Известно, что расстояние было равно 41 млн. км при t=3 и 20 млн. км при t=5. Эти данные позволяют нам создать систему уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c в квадратичной функции s(t):

1. При t=3: s(3) = 41 млн. км a(3^2) + b(3) + c = 41

2. При t=5: s(5) = 20 млн. км a(5^2) + b(5) + c = 20

Также нам известно, что расстояние достигло своего минимума при t=7. В точке минимума производная функции s(t) равна нулю. Мы можем найти производную и приравнять ее к нулю:

s'(t) = 2at + b 2a(7) + b = 0

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (a, b и c). Решим эту систему уравнений:

Из уравнения 2a(7) + b = 0, мы можем выразить b: b = -14a

Подставим b в уравнения 1 и 2:

1. 9a - 14a + c = 41 -5a + c = 41

2. 25a - 14a + c = 20 11a + c = 20

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и c):

-5a + c = 41 11a + c = 20

Выразим c из первого уравнения и подставим его во второе уравнение:

c = 5a + 41

11a + (5a + 41) = 20

16a + 41 = 20

16a = -21

a = -21 / 16

Теперь, когда мы знаем значение a, мы можем найти значение c:

c = 5a + 41 c = 5(-21/16) + 41

Теперь, найдя значения a и c, мы можем найти минимальное расстояние. Минимальное расстояние достигается при t=7, и мы можем использовать квадратичную функцию s(t) для этого:

s(t) = at^2 + bt + c s(7) = (-21/16)(7^2) - 14(7) + (5(-21/16) + 41)

Теперь вычислим s(7):

s(7) = (-21/16)(49) - 98 + (5(-21/16) + 41)

Вычисляем:

s(7) = -661/16 - 98 + (-105/16 + 41)

Складываем числа:

s(7) = -661/16 - 98 - 105/16 + 41

s(7) = -661/16 - 161/16 + 41

Теперь сложим числители:

s(7) = (-661 - 161 + 656) / 16

s(7) = -166 / 16

s(7) = -10.375 млн. км

Минимальное расстояние, на которое астероид приблизился к Земле, составляет 10.375 миллионов километров.