Question

При каких значениях а уравнение cos²2x-acos2x = 0 имеет два корня на промежутке [π/4; 3π/4]

Answer 1

Ответ:

Уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имеет два корня на промежутке [π/4; 3π/4] при a ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \cos^2(2x) - a\cos(2x) = 0$

Вынесем cos(2x) за скобки.

$\displaystyle \cos(2x) \big( \cos(2x) - a\big) = 0$

Если произведение равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Имеем два тригонометрических уравнения.

$\cos(2x) = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cos(2x)-a=0$

Предлагаю для начала проверить кол-во корней первого уравнения, которые принадлежат промежутку [π/4; 3π/4]. Тогда мы будем знать сколько корней второго уравнения должно принадлежать этому промежутку.

$\displaystyle \cos(2x)=0\\\\ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \ n\in \mathbb Z \ \ \Bigg| \ \cdot \frac{1}{2} \\\\ x= \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \ n\in \mathbb Z \\\\\\ 1) \ n=(-1)\\\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi \cdot (-1)}{2} = \frac{\pi}{4}-\frac{2\pi }{4}= -\frac{\pi}{4} \notin \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \times \\\\ 2) \ n=0 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{4} \in \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \checkmark$

$\displaystyle 3) \ n=1 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \in \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \checkmark \\\\ 4) \ n=2 \\\\ x=\frac{\pi}{4} + \frac{\pi \cdot 2}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \notin \bigg [\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\bigg] \ \times$

Мы пришли к тому, что уравнение cos(2x)=0 имеет 2 корня на промежутке [π/4; 3π/4]. Тогда, чтобы уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имело два корня на этом же промежутке, нам нужны такие значения а, при которых уравнение cos x - a = 0 не будет иметь корней. Найти их не сложно

$\dsiplaystyle \cos x - a = 0 \\\\ \cos x = a$

Все мы помним, что уравнение вида cos x = b имеет корни только при b ∈ [-1;1]. При иных же значениях уравнение не имеет корней. Тогда:

$\cos x = a\\\\ x \notin \mathbb R \ \ \text{if } \ a \in(-\infty;-1) \cup (1; +\infty)$

Мы пришли к тому, что уравнение cos²(2x)-acos(2x)=0 имеет два корня на промежутке [π/4; 3π/4] при a ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

Answer 2

Для того чтобы уравнение $\cos^2(2x) - a\cos(2x) = 0$ имело два корня на промежутке $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$, нужно, чтобы дискриминант этого уравнения был положительным числом. Дискриминант можно найти, рассматривая это уравнение как квадратное уравнение относительно $\cos(2x)$.

У нас есть уравнение: $\cos^2(2x) - a\cos(2x) = 0$

Давайте обозначим $\cos(2x)$ как $t$: $t^2 - at = 0$

Теперь мы можем найти дискриминант этого квадратного уравнения: $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = a^2$

Чтобы уравнение имело два корня на заданном промежутке, который указан в вопросе $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$, дискриминант должен быть положительным числом, иначе уравнение может иметь меньше или больше двух корней.

Таким образом, условие для нахождения двух корней на промежутке $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$ для данного уравнения $\cos^2(2x) - a\cos(2x) = 0$ - это $a^2 > 0$.