Question

Решите производную. Даю 100 Балов!!! y(x)=√x-arctg√x. Сделайте хорошо росписаный ответ, а не из калькулятора производных.

Answer 1

Відповідь:

На фото ;)

Покрокове пояснення:

Answer 2

Конечно, давайте рассчитаем производную функции y(x) = √x - arctg(√x) по переменной x с использованием правила дифференцирования сложной функции.

1. Начнем с первого слагаемого √x:

d/dx (√x) = (1/2) * x^(-1/2).

2. Теперь дифференцируем второе слагаемое - arctg(√x):

d/dx (arctg(√x)).

Для этой части, мы воспользуемся правилом дифференцирования арктангенса:

d/dx (arctg(u)) = (1 / (1 + u^2)) * du/dx,

где u = √x.

Таким образом, du/dx = (1/2) * x^(-1/2).

Теперь мы можем вычислить второе слагаемое:

d/dx (arctg(√x)) = (1 / (1 + (√x)^2)) * (1/2) * x^(-1/2) = (1 / (1 + x)) * (1/2) * x^(-1/2).

3. Теперь объединим результаты из шагов 1 и 2:

d/dx (√x - arctg(√x)) = (1/2) * x^(-1/2) - (1 / (1 + x)) * (1/2) * x^(-1/2).

Теперь упростим эту производную:

(1/2) * x^(-1/2) - (1 / (1 + x)) * (1/2) * x^(-1/2) = (1/2) * x^(-1/2) * (1 - 1 / (1 + x)) = (1/2) * x^(-1/2) * ((1 + x) / (1 + x) - 1 / (1 + x)) = (1/2) * x^(-1/2) * ((1 + x - 1) / (1 + x)) = (1/2) * x^(-1/2) * (x / (1 + x)).

Таким образом, производная функции y(x) = √x - arctg(√x) по переменной x равна:

y'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * (x / (1 + x)).

Теперь у нас есть производная функции y(x).