Question

Докажите, что √(x^2/y) + √(y^2 / x) > √x + √y

Answer 1

Ответ:

Для начала заметим, что все числа в данном неравенстве неотрицательны, т.к. корень из отрицательного числа не существует.

Рассмотрим левую часть неравенства:

√(x^2/y) + √(y^2 / x)

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел x и y:

(√x + √y)/2 ≤ √(xy)

Это неравенство можно переписать в виде √x/√(xy) + √y/√(xy) ≤ (√x + √y)/2.

Применим это неравенство дважды, для первого и второго слагаемых в левой части изначального неравенства, получим:

√(x^2/y)/√(x+y) + √(y^2/x)/√(x+y) ≤ (√x + √y)/2

Обе дроби в левой части можно сложить, используя неравенство треугольника:

√(x^2/y)/√(x+y) + √(y^2/x)/√(x+y) ≥ √((x^2/y + y^2/x)/(x+y))

Раскроем скобки в числителе дроби в правой части:

(x^3 + y^3)/(xy(x+y))

Тогда неравенство примет вид:

√((x^3 + y^3)/(xy(x+y))) ≤ (√x + √y)/2

Для доказательства этого неравенства можно возвести обе части в квадрат:

x^3 + y^3 ≤ xy(x + y)

Это неравенство является классическим и называется неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для трех положительных чисел x, y и z: (x+y+z)/3 ≥ ∛(xyz). При подстановке z=(x+y)/2 получим нужное нам неравенство.

Таким образом, мы доказали, что √(x^2/y) + √(y^2 / x) ≥ √x + √y, что и требовалось доказать.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте рассмотрим каждую из составляющих частей неравенства и убедимся, что они больше, чем соответствующие части в правой части неравенства.

1. Рассмотрим первую часть неравенства: √(x²/y). Поскольку x²/y = (x√x)²/y, можно переписать это выражение как x√x/√y. Теперь заметим, что √y > 0 для положительных y. Таким образом, можно умножить и разделить данное выражение на √y, получив x√(x/y), что больше, чем √x при x > 0 и y > 0.

2. Рассмотрим вторую часть неравенства: √(y²/x). Аналогично предыдущему случаю, это выражение можно переписать как y√(y/x). Разделим и умножим это выражение на √x, получая y√(y√x/x) = y√(y√x)/√x = y√(y√x/x) = y√(y√x)/√x. Заметим, что √x > 0 для положительных x. Таким образом, это выражение больше, чем √y при x > 0 и y > 0.

Таким образом, обе части неравенства (√(x²/y) и √(y²/x)) больше, чем соответствующие части в правой части неравенства (√x и √y) при x > 0 и y > 0. Последовательное сложение этих двух неравенств дает нам исходное неравенство:

√(x²/y) + √(y²/x) > √x + √y

Таким образом, данное неравенство верно при x > 0 и y > 0.