Question

Помогите пожалуйста с дифференциальным уравнением: Вычислить дифференциальное уравнение методом Лагранжа и Бернулли: y'+2y/x=x³ y(1)= -5/6 ​

Answer 1

Відповідь:

Для решения данного дифференциального уравнения методом Лагранжа необходимо сначала вычислить производную относительно переменной x от левой и правой частей уравнения:

y' + 2y/x = x³

(y' + 2y/x)' = (x³)'

y'' - 2y/x² + 2y/x² = 3x²

y'' = 2y/x² - 3x²

Затем заменяем в полученном уравнении y'' на u и x на t:

u = 2y/t² - 3t²

t = e^s

Используя цепное правило дифференцирования, находим производные:

u' = (2y'/t²) - (4y/t³) - 6t

u'' = (2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6

Подставляем найденные производные в выражение для u'' и получаем дифференциальное уравнение Лагранжа:

(2y''/t²) - (4y'/t³) - (12y/t⁴) - 6 = 0

Для решения уравнения методом Бернулли необходимо сначала привести его к виду, когда он содержит произведение y и y'. Для этого умножаем обе части уравнения на x²:

x² y' + 2x y = x⁵ y

Переносим все члены, содержащие y, в левую часть, а все члены, содержащие y', в правую часть:

x² y' - x⁵ y = -2x y

Домножаем обе части уравнения на x^(-5) и заменяем y' на dy/dx:

y'/y = -2/x + 1/x³

Умножаем обе части уравнения на y³:

y³ y'/y = -2y²/x + y²/x³

Проводим замену u = y² и заменяем y' на du/dx:

u' = -4x⁻¹ u + 2x⁻³ u

Делаем замену t = x² и находим производные:

u' = (du/dt)(dt/dx) = 2x u'

u'' = (d²u/dt²)(dt/dx)² + (du/dt)(d²t/dx²)

Подставляем найденные производные и связываем их с начальным уравнением:

2x u' = -8t⁻¹ u + 4t⁻³ u

2x u'' = -8t⁻¹ u' - 8t⁻² u + 4t⁻³ u'

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли принимает вид:

2x u'' + 8t⁻

Покрокове пояснення:

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение методом Бернулли. Уравнение выглядит следующим образом:

y' + 2y/x = x^3

Для решения методом Бернулли мы сначала преобразуем уравнение, чтобы оно имело вид y' + P(x)y = Q(x)y^n, где n - некоторая константа. В данном случае n = 1, поэтому нам нужно преобразовать уравнение так, чтобы оно имело вид:

y' + P(x)y = Q(x)y

В нашем случае P(x) = 2/x и Q(x) = x^3. Давайте умножим обе стороны уравнения на x^2, чтобы избавиться от дроби:

x^2y' + 2xy = x^5

Теперь у нас есть уравнение Бернулли. Для решения введем замену:

z = y^(1-n) = y^(-1)

Тогда y' = -z' * y^(-2)

Подставим это в уравнение:

-x^2z' * y^(-2) + 2xy = x^5

Теперь у нас есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для z:

-x^2z' + 2xyz^2 = x^5

Давайте решим это уравнение для z. Сначала выразим z':

z' = (2xyz^2 - x^5) / (-x^2)

Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе стороны на (2xyz^2 - x^5):

dz/dx = (x^3 - 2yz) / (x^2)

Теперь у нас есть разделяющееся переменные уравнение, где z зависит только от x, а y является константой. Давайте решим его:

dz / (x^3 - 2yz) = dx / x^2

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1 / (x^3 - 2yz)) dz = ∫(1 / x^2) dx

Левую сторону мы интегрируем по z, а правую по x. Получаем:

∫(1 / (x^3 - 2yz)) dz = -1/x + C1

Теперь решим интеграл на левой стороне. Здесь мы можем сделать замену, чтобы упростить интеграл. Пусть t = x^3 - 2yz, тогда dt = -2y dx. Заменим это в интеграле:

-0.5 * ∫(1 / t) dt = -0.5 * ln|t| + C2

Теперь вернемся к переменным x и y, используя t = x^3 - 2yz:

-0.5 * ln|x^3 - 2yz| + C2 = -1/x + C1

Теперь мы можем объединить константы C1 и C2 в одну константу C:

-0.5 * ln|x^3 - 2yz| + C = -1/x

Теперь выразим z из этого уравнения:

ln|x^3 - 2yz| = -2Cx - 2

x^3 - 2yz = e^(-2Cx - 2)

Теперь подставим начальное условие y(1) = -5/6:

1^3 - 2 * (1) * (-5/6) = e^(-2C * 1 - 2)

1 + 10/6 = e^(-2C - 2)

16/6 = e^(-2C - 2)

Упростим правую сторону:

8/3 = e^(-2C - 2)

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(8/3) = -2C - 2

Теперь решим это уравнение относительно C:

-2C = ln(8/3) + 2

C = -(ln(8/3) + 2) / 2

Теперь мы знаем значение C, и мы можем записать окончательное решение:

x^3 - 2yz = e^(-2Cx - 2)

x^3 - 2y(-5/6) = e^(-2C * x - 2)

x^3 + 5y/3 = e^(-(ln(8/3) + 2) * x - 2)

x^3 + 5y/3 = (8/3) * e^(-2x - 2)

Это окончательное решение дифференциального уравнения методом Бернулли.