Question

Решить дифференциальное уравнение методом Бернулли: y'+y*tgx=1/cosx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения методом Бернулли, нам нужно привести его к линейному дифференциальному уравнению. Уравнение вида $y' + P(x)y = Q(x)y^n$ называется уравнением Бернулли, где $n$ - некоторое число, не равное 1.

В данном случае у нас есть уравнение:

$y' + y\tan(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

Для приведения его к уравнению Бернулли, мы можем поделить обе стороны на $\cos(x)$:

$\frac{1}{\cos(x)} \left(y' + y\tan(x)\right) = 1$

Теперь мы можем заметить, что $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, поэтому мы заменяем $\tan(x)$ в уравнении:

$\frac{1}{\cos(x)} \left(y' + y\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right) = 1$

Далее, мы заменяем $\frac{1}{\cos(x)}$ на $\sec(x)$:

$\sec(x) \left(y' + y\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right) = 1$

Теперь мы можем ввести замену $z = y\cos(x)$, и заметим, что $z' = y'\cos(x) - y\sin(x)$:

$\sec(x) \left(z' + z\sin(x)\right) = 1$

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить. Умножим обе стороны на $\frac{1}{\sec(x)}$, что равносильно $\cos(x)$:

$z' + z\sin(x) = \cos(x)$

Теперь решим это линейное уравнение. Сначала найдем интегральный множитель. Интегральный множитель $\mu(x)$ определяется как:

$\mu(x) = e^{\int \sin(x)dx} = e^{-\cos(x)}$

Умножим обе стороны уравнения на $\mu(x)$:

$e^{-\cos(x)}z' + e^{-\cos(x)}z\sin(x) = e^{-\cos(x)}\cos(x)$

Теперь левая сторона является производной произведения $\mu(x)z$:

$\frac{d}{dx}(e^{-\cos(x)}z) = e^{-\cos(x)}\cos(x)$

Интегрируя обе стороны по $x$, получим:

$e^{-\cos(x)}z = \int e^{-\cos(x)}\cos(x)dx + C$

Теперь мы можем выразить $z$:

$z = e^{\cos(x)}\left(\int e^{-\cos(x)}\cos(x)dx + C\right)$

И, наконец, восстановим $y$ из нашей замены $z = y\cos(x)$:

$y = \frac{e^{\cos(x)}}{\cos(x)}\left(\int e^{-\cos(x)}\cos(x)dx + C\right)$

Это общее решение исходного дифференциального уравнения.