Question

Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 2x + sinx

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 2x + \sin(x)$, мы можем применить интегрирование по частям для первого слагаемого $2x$ и интегрирование синуса $\sin(x)$. Общая формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du,$$

где $u$ и $v$ - это функции, которые мы выбираем. В данном случае, мы можем выбрать:

$$u = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2 \, dx$$

$$dv = \sin(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$$

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

$$\int (2x + \sin(x)) \, dx = 2x \cdot (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \cdot (2 \, dx)$$

Упростим это выражение:

$$-2x\cos(x) + 2\int \cos(x) \, dx$$

Интегрируя $\cos(x)$, мы получим:

$$-2x\cos(x) + 2\sin(x) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная интеграции.

Таким образом, общий вид первообразных для функции $f(x) = 2x + \sin(x)$ следующий:

$$F(x) = -2x\cos(x) + 2\sin(x) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная.