Question

ДЛя функции y=f(x) найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку М (a; b) , и постройте график функции F(x): 9) 1. f(x) = 2x+3, M(1;2); 2) f(x) = 3x^2 - 2 , M(2;4); 3) f(x) = 1 + sinx, M(0;1); 4) f(x) = 3cosx - 2, M(Пи/ 2; - 1). 10) 1) f(x) = 1 / sin^2 (Пи / 2 + х) , M(- Пи / 4 ; - 1 ); 2) f(x) = 1 / cos^2 (3Пи / 2 - х ) , М (5Пи/ 6 ; корень из 3). 11. Найдите общий вид первообразных для функции: 1) f(x) = (x-1)^3 ; 2) f(x) = (1-2x)^2 ; 3) f(x) = 1 / 2 корень из x + 11x ^10 ; 4) f(x) = 1 / x^2 + 12x^8.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Первообразная функции - это такое выражение, производная которого равна исходной функции.

$f(x)=2x+3;$

Первообразная: $F(x)=\int(2x+3)dx=x^2+3x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$2=1^2+3\cdot1+C\\ C=-2$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x^2+3x-2}$

$f(x)=3x^2-2;$

Первообразная: $F(x)=\int(3x^2-2)=x^3-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$4=2^3-2\cdot2+C\\ C=0$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x^3-2x}$

$f(x)=1+\sin x;$

Первообразная: $F(x)=\int(1+\sin x)dx=x-\cos x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$1=0-\cos0+C\\ C=2$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=x-\cos x+2}$

$f(x)=3\cos x-2;$

Первообразная: $F(x)=\int(3\cos x-2)=3\sin x-2x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1=3\sin\frac{\pi}{2}-2\cdot\frac{\pi}{2}+C\\ C=-4+\pi$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=3\sin x-2x-4+\pi}$

$f(x)=\dfrac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{2}+x)}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Первообразная: $F(x)=\displaystyle \int\dfrac{dx}{\cos^2 x}={\rm tg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$-1={\rm tg}(-\frac{\pi}{4})+C\\ -1=-1+C\\ C=0$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)={\rm tg}x}$

$f(x)=\dfrac{1}{\cos^2(\frac{3\pi}{2}-x)}=\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Первообразная: $F(x)=\displaystyle \int \dfrac{dx}{\sin^2 x}=-{\rm ctg}x+C$

Подставим координаты точки М в общий вид первообразной.

$\sqrt{3}={\rm ctg}\frac{5\pi}{6}+C\\ \sqrt{3}=-\sqrt{3}+C\\ C=2\sqrt{3}$

Искомая первообразная: $\boxed{F(x)=-{\rm ctg}x+2\sqrt{3}}$

$f(x)=(x-1)^3$

Общий вид первообразной: $></p> <p><img src=$

Общий вид первообразной: $></p> <p><img src=$

Общий вид первообразной:$F(x)=\sqrt{x}+11\cdot \dfrac{x^{11}}{11}+C=\sqrt{x}+x^{11}+C$

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}+12x^8$

Общий вид первообразной:$F(x)=\displaystyle \int\bigg(\dfrac{1}{x^2}+12x^8\bigg)dx=-\dfrac{1}{x}+12\cdot \dfrac{x^9}{9}+C=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{4x^9}{3}+C$

Answer 2

Давайте решим задачу поочередно для каждой функции.

Задача 9

1. f(x) = 2x + 3, M(1,2): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (2x + 3) \,dx = x^2 + 3x + C\] - Подставим координаты точки \(M(1,2)\): \[2 = F(1) = 1 + 3 + C \implies C = -2\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(1,2)\): \[F(x) = x^2 + 3x - 2\]

2. f(x) = 3x^2 - 2, M(2,4): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (3x^2 - 2) \,dx = x^3 - 2x + C\] - Подставим координаты точки \(M(2,4)\): \[4 = F(2) = 8 - 4 + C \implies C = 0\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(2,4)\): \[F(x) = x^3 - 2x\]

3. f(x) = 1 + \sin(x), M(0,1): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (1 + \sin(x)) \,dx = x - \cos(x) + C\] - Подставим координаты точки \(M(0,1)\): \[1 = F(0) = 0 - 1 + C \implies C = 2\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(0,1)\): \[F(x) = x - \cos(x) + 2\]

4. f(x) = 3\cos(x) - 2, M(\pi/2, -1): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (3\cos(x) - 2) \,dx = 3\sin(x) - 2x + C\] - Подставим координаты точки \(M(\pi/2, -1)\): \[-1 = F(\pi/2) = 0 - \pi + C \implies C = \pi - 1\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(\pi/2, -1)\): \[F(x) = 3\sin(x) - 2x + \pi - 1\]

Задача 10

1. f(x) = 1/\sin^2(\pi/2 + x), M(-\pi/4, -1): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(\pi/2 + x)} \,dx = -\cot(\pi/2 + x) + C\] - Подставим координаты точки \(M(-\pi/4, -1)\): \[-1 = F(-\pi/4) = 0 + C \implies C = -1\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(-\pi/4, -1)\): \[F(x) = -\cot(\pi/2 + x) - 1\]

2. f(x) = 1/\cos^2(3\pi/2 - x), M(5\pi/6, \sqrt{3}): - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(3\pi/2 - x)} \,dx = -\tan(3\pi/2 - x) + C\] - Подставим координаты точки \(M(5\pi/6, \sqrt{3})\): \[\sqrt{3} = F(5\pi/6) = -\sqrt{3} + C \implies C = 2\sqrt{3}\] - Таким образом, первообразная \(F(x)\) для \(f(x)\) через точку \(M(5\pi/6, \sqrt{3})\): \[F(x) = -\tan(3\pi/2 - x) + 2\sqrt{3}\]

Задача 11

1. f(x) = (x-1)^3: - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (x-1)^3 \,dx = \frac{1}{4}(x-1)^4 + C\]

2. f(x) = (1-2x)^2: - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int (1-2x)^2 \,dx = \frac{1}{3}(1-2x)^3 + C\]

3. f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} + 11x^{10}}: - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F(x) = \int \frac{1}{2\sqrt{x} + 11x^{10}} \,dx = \frac{1}{22}x^{-\frac{9}{2}} + C\]

4. f(x) = \frac{1}{x^2 + 12x^8}: - Найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\): \[F