Question

СРОЧНОООО диф рівняння у' = х cоs(x) (2 y+ 1)

Answer 1

-------------------------------

Answer 2

Це диференціальне рівняння можна розв'язати за допомогою методу розділення змінних. Ось як це можна зробити:

1. Розділімо змінні та перенесемо всі члени, які містять y, на одну сторону рівняння:

   у' / (2y + 1) = x * cos(x)

2. Зараз розділимо обидві сторони рівняння на x * cos(x):

   (1 / (2y + 1)) * (dy / dx) = 1 / (x * cos(x))

3. Зараз інтегруємо обидві сторони. Ліва сторона інтегрується відносно y, а права сторона відносно x:

   ∫ (1 / (2y + 1)) dy = ∫ (1 / (x * cos(x))) dx

4. Тепер знайдемо інтеграл лівої та правої сторін рівняння. Давайте спочатку розглянемо інтеграл лівої сторони:

   Ліва сторона: ∫ (1 / (2y + 1)) dy

   Для цього інтегралу можна зробити заміну змінної, наприклад, t = 2y + 1:

   dt = 2dy dy = (1/2)dt

   Тоді інтеграл стає: (1/2) ∫ (1 / t) dt = (1/2) * ln|t| + C₁

   Зараз підставимо назад t: (1/2) * ln|2y + 1| + C₁

5. Тепер знайдемо інтеграл правої сторони рівняння:

   Права сторона: ∫ (1 / (x * cos(x))) dx

   Цей інтеграл можна розв'язати як відомий інтеграл, використовуючи метод інтегрування за частинами:

   Інтегрування за частинами: ∫ u dv = uv - ∫ v du

   Виберемо: u = 1/x (похідна du = -1/x^2 dx) dv = (1 / cos(x)) dx (похідна v = sin(x))

   Тоді: ∫ (1 / (x * cos(x))) dx = (1/x) * sin(x) - ∫ (sin(x) * (-1/x^2)) dx

   Зараз інтегруємо останній інтеграл: ∫ (sin(x) * (-1/x^2)) dx

   Цей інтеграл можна знову розв'язати інтегруванням за частинами.

6. Після розв'язання інтегралу правої сторони рівняння, отримаємо функцію F(x), і тоді можемо записати остаточний вираз для рівняння:

   (1/2) * ln|2y + 1| + C₁ = F(x) + C₂

   Де C₁ і C₂ - це константи інтегрування.

7. Можна подолати константу логарифма, використовуючи властивість логарифмів:

   ln|2y + 1| = 2 * (F(x) + C₂) - 2 * C₁

8. Виразимо 2 * C₂ - 2 * C₁ як нову константу C:

   ln|2y + 1| = 2 * F(x) + C

9. Тепер можемо позбавитися від логарифма, використовуючи експоненційну функцію:

   |2y + 1| = e^(2 * F(x) + C)

10. Враховуючи модуль, ми можемо записати два варіанти рівняння:

11. 2y + 1 = e^(2 * F(x) + C)

12. 2y + 1 = -e^(2 * F(x) + C)

13. Зараз можемо розв'язати ці рівняння для y. Розв'язок залежатиме від конкретних функцій F(x) та C.

Це загальний підхід до розв'язання даного диференціального рівняння. Якщо ви знаєте конкретну функцію F(x) або додаткові умови, то ви зможете знайти більш конкретний розв'язок.