Question

Знайти похідну функції z = х? - ху + у? в точці М (1;1) за напрямом вектора Ї = 61+8}

Answer 1

Ответ:

Пряму Ї можна представити у вигляді вектора (6, 8). Знайдемо часткові похідні функції z в точці M (1,1):

∂z/∂x = (1 - y)

∂z/∂y = (x - y)

Підставляємо значення координат точки M:

∂z/∂x (1,1) = 0

∂z/∂y (1,1) = 0

Тепер знайдемо проекцію вектора Ї на площину xOy:

cos(Ї, i) = (6, 8) * (1, 0) / sqrt(6^2 + 8^2) = 6 / 10 = 3 / 5

cos(Ї, j) = (6, 8) * (0, 1) / sqrt(6^2 + 8^2) = 8 / 10 = 4 / 5

Отже, проекція вектору Ї на площину xOy дорівнює (3, 4). Якщо α - кут між проекцією вектору Ї на площину xOy та додатним напрямком вісі Ох, то

tg α = (4 / 3), i cos α = (3 / 5), sin α = (4 / 5).

Знаходимо коефіцієнти з проекції вектору Ї на площину xOy:

a = (3/5) * (8 - 1) = 3.4

b = (4/5) * (8 - 1) = 3.2

Тепер знаходимо похідну функції z в напрямку вектора Ї:

dz/dt = ∂z/∂x * dx/dt + ∂z/∂y * dy/dt = (1 - y) * a + (x - y) * b, де x = 1, y = 1, a = 3.4, b = 3.2.

dz/dt = (1 - 1) * 3.4 + (1 - 1) * 3.2 = 0

Отже, похідна функції z в напрямку вектора Ї дорівнює 0.

Пошаговое объяснение:

можна найкращу відповідь

Answer 2

Щоб знайти похідну функції $z = x^2 - xy + y^2$ в точці $M(1, 1)$ за напрямом вектора $\vec{v} = \langle 6, 8 \rangle$, ви можете скористатися градієнтним методом. Градієнт функції визначається як вектор, який має часткові похідні за кожною змінною.

Спершу знайдемо часткові похідні функції $z$ за $x$ та $y$:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = -x + 2y$$

Тепер обчислимо градієнт функції $z$ в точці $M(1, 1)$:

$$\nabla z(1, 1) = \left( \frac{\partial z}{\partial x}(1, 1), \frac{\partial z}{\partial y}(1, 1) \right) = \left( 2 \cdot 1 - 1, -1 + 2 \cdot 1 \right) = \left( 1, 1 \right)$$

Тепер ми маємо градієнт функції в точці $M(1, 1)$, і ми можемо використовувати його для обчислення похідної за напрямом вектора $\vec{v}$. Для цього використовуємо формулу для похідної за напрямом:

$$D_{\vec{v}} z = \nabla z(1, 1) \cdot \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$$

Де $\cdot$ - це скалярний добуток векторів, а $\|\vec{v}\|$ - норма вектора $\vec{v}$. Ваш вектор $\vec{v} = \langle 6, 8 \rangle$, тому норма $\|\vec{v}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Тепер можемо обчислити похідну:

$$D_{\vec{v}} z = \nabla z(1, 1) \cdot \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \left( 1, 1 \right) \cdot \frac{\langle 6, 8 \rangle}{10} = \frac{1}{10} \cdot (1 \cdot 6 + 1 \cdot 8) = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$$

Отже, похідна функції $z$ в точці $M(1, 1)$ за напрямом вектора $\vec{v} = \langle 6, 8 \rangle$ дорівнює $\frac{7}{5}$.