Question

Найдите a{2} ^ 2 + a{4} ^ 2 арифметической прогрессии (a{n}) если a{3} = 5 и S{10} = 75 .

Answer 1

Ответ:

52

Пошаговое объяснение:

S(10)=(2*a(1)+9*d)*10/2=75

a(3)=a(1)+2*d=5

Составим из этого систему и немного преобразуем:

2*a(1)+9*d=15

2*a(1)+4*d=10

Отнимем из первого уравнения второе:

2*a(1)+9*d-2*a(1)-4*d=15-10

5*d=5

d=1

Теперь найдем a(1):

a(1)=5-2*d=5-2*1=3

Теперь найдем a(2)^2+a(4)^2:

a(2)^2+a(4)^2=(a(1)+d)^2+(a(1)+3*d)^2=(3+1)^2+(3+3*1)^2=4^2+6^2=16+36=52

Answer 2

Для решения задачи, нам нужно найти квадраты членов $a_2$ и $a_4$ арифметической прогрессии.

Для арифметической прогрессии у нас есть формула для общего члена:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d,$

где $a_n$ - общий член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $n$ - номер члена прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

Известно, что $a_3 = 5$, следовательно, $a_1 + 2d = 5$ (поскольку $a_3 = a_1 + 2d$).

Также, известно, что сумма первых 10 членов прогрессии ($S_{10}$) равна 75. Для арифметической прогрессии сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n).$

Подставив значения $S_{10} = 75$ и $n = 10$, а также $a_1 + a_n = 2a_1 + 9d$, мы получаем:

$75 = \frac{10}{2} \cdot (a_1 + (a_1 + 9d)) = 5 \cdot (2a_1 + 9d) = 10a_1 + 45d.$

Мы имеем систему уравнений:

a_1 + 2d &= 5, \\ 10a_1 + 45d &= 75. \end{align*}\] Решая эту систему, мы получаем \(a_1 = 2\) и \(d = 1\). Теперь мы можем найти квадраты \(a_2\) и \(a_4\): \[a_2^2 = (a_1 + d)^2 = (2 + 1)^2 = 9,\] \[a_4^2 = (a_1 + 3d)^2 = (2 + 3 \times 1)^2 = 25.\] Теперь мы можем найти \(a_2^2 + a_4^2\): \[a_2^2 + a_4^2 = 9 + 25 = 34.\] Итак, \(a_2^2 + a_4^2\) для данной арифметической прогрессии равно 34.