Question

6. Для функции f(х) = 12x²+2х+7 найдите первообразную F(x), если известно, что F(-2)=14

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Решение задания на фото

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции $F(x)$ для $f(x) = 12x^2 + 2x + 7$, мы должны взять интеграл от $f(x)$ по $x$. Вот как это делается:

$F(x) = \int (12x^2 + 2x + 7) dx$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = \int 12x^2 dx + \int 2x dx + \int 7 dx$

Интеграл от $12x^2$ по $x$ равен:

$\int 12x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} = 4x^3$

Интеграл от $2x$ по $x$ равен:

$\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

Интеграл от константы $7$ по $x$ равен:

$\int 7 dx = 7x$

Теперь сложим все интегралы:

$F(x) = 4x^3 + x^2 + 7x + C$

Где $C$ - постоянная интеграции. Чтобы найти значение $C$, используем информацию, что $F(-2) = 14$:

$14 = 4(-2)^3 + (-2)^2 + 7(-2) + C$

$14 = -32 + 4 - 14 + C$

$14 = -42 + C$

Теперь найдем значение $C$:

$C = 14 + 42 = 56$

Таким образом, первообразная $F(x)$ для функции $f(x) = 12x^2 + 2x + 7$ с условием $F(-2) = 14$ равна:

$F(x) = 4x^3 + x^2 + 7x + 56$