Question

Розвʼязати задачу (Тема: Задачі на побудову) Побудуй трикутник АВС зі сторонами АВ-5 см, ВС-6 см, АС-10 см й опиши навколо нього коло. Знайди радіус описаного кола.

Answer 1

Ответ:

Стороны треугольника равны АВ=5 см , ВС=6 см , АС=10 см .

Такой треугольник существует, так как выполняется неравенство треугольника :  5+6>10  ,  5+10>5  ,  6+10>5  .

Cначала проведём прямую. На ней от выбранной точки А отложим отрезок  АВ  и отметим другой конец отрезка, точку В .  Затем проведём окружность с центром в очке А и радиусом, равным  АС . Потом проведём окружность с центром в очке В и радиусом, равным  ВС .  Точка пересечения окружностей является третьей вершиной треугольника С .

Центр окружности, описанной около треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника . Радиус описанной окружности можно найти по формуле

$\bf R=\dfrac{abc}{4S}$

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона .

$\bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$   .

$\bf p=\dfrac{1}{2}\cdot (5+6+10)=\dfrac{1}{2}\cdot 21=10,5\\\\\\S=\sqrt{\dfrac{21}{2}\cdot \Big(\dfrac{21}{2}-5\Big)\Big(\dfrac{21}{2}-6\Big)\Big(\dfrac{21}{2}-10\Big)}=\sqrt{\dfrac{21}{2}\cdot \dfrac{11}{2}\cdot \dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{1}{2}}=\\\\\\=\dfrac{3}{4}\sqrt{21\cdot 11}=\dfrac{3}{4}\sqrt{231}$  

Теперь найдём радиус описанной окружности .

$\bf R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{5\cdot 6\cdot 10}{3\sqrt{231}}=\dfrac{100}{\sqrt{231}}=\dfrac{100\sqrt{231}}{231}$    (см) .

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість описаного кола для трикутника. Відомо, що радіус описаного кола трикутника АВС є половиною діагоналі даний треугольник, а діагональ може бути знайдена за допомогою теореми косинусів.

1. За теоремою косинусів знайдемо кут між сторонами АВ і ВС:

   Кут А = arccos[(ВС^2 + АВ^2 - АС^2) / (2 * ВС * АВ)] Кут А = arccos[(6^2 + 5^2 - 10^2) / (2 * 6 * 5)] Кут А ≈ 53.13 градусів.

2. Знайдемо другий кут, наприклад, кут В:

   Кут В = arccos[(АС^2 + АВ^2 - ВС^2) / (2 * АС * АВ)] Кут В = arccos[(10^2 + 5^2 - 6^2) / (2 * 10 * 5)] Кут В ≈ 36.87 градусів.

3. Тепер знайдемо третій кут, кут С, за допомогою того, що сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів:

   Кут С = 180 - Кут А - Кут В Кут С = 180 - 53.13 - 36.87 Кут С ≈ 90 градусів.

4. Тепер ми знаємо всі кути трикутника АВС. Трикутник є прямокутним трикутником зі сторонами АВ-5 см, ВС-6 см і АС-10 см.

5. Після цього, знайдемо діагональ трикутника, яка є гіпотенузою прямокутного трикутника:

   Діагональ = √(АВ^2 + ВС^2) Діагональ = √(5^2 + 6^2) Діагональ = √(25 + 36) Діагональ = √61 см.

6. Тепер знайдемо радіус описаного кола (R), який є половиною діагоналі:

   R = Діагональ / 2 R = √61 / 2 R ≈ 3.54 см.

Отже, радіус описаного кола трикутника АВС дорівнює приблизно 3.54 см.