Question

Решить интеграл dx/4x^2-5

Answer 1

Ответ:

Табличный интеграл :     $\bf \displaystyle \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot ln\Big|\, \frac{u-a}{u+a}\, \Big|+C$    .

$\bf \displaystyle \int \frac{dx}{4x^2-5}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x)}{(2x)^2-(\sqrt5)^2}=\frac{1}{2\cdot }\cdot \frac{1}{2\sqrt5}\cdot ln\, \Big|\, \frac{2x-\sqrt5}{2x+\sqrt5}\, \Big|+C=\\\\\\=\frac{1}{4\sqrt5}\cdot ln\, \Big|\, \frac{2x-\sqrt5}{2x+\sqrt5}\, \Big|+C$  

Answer 2

Для решения данного интеграла, вы можете воспользоваться методом частичной дробе разложения. Интеграл имеет вид:

∫ dx / (4x^2 - 5)

Сначала разложим знаменатель на множители:

4x^2 - 5 = (2x√5)^2 - (√5)^2 = (2x√5 + √5)(2x√5 - √5)

Теперь разложим на частные дроби:

∫ dx / (4x^2 - 5) = ∫ dx / [(2x√5 + √5)(2x√5 - √5)]

Для нахождения коэффициентов в разложении, предположим, что:

A / (2x√5 + √5) + B / (2x√5 - √5) = 1 / [(2x√5 + √5)(2x√5 - √5)]

Теперь найдем значения A и B. Умножим обе стороны на общий знаменатель и сократим его:

A(2x√5 - √5) + B(2x√5 + √5) = 1

Теперь подставим x = √5 / (2√5), чтобы избавиться от одного из членов:

A(0) + B(2√5) = 1

Отсюда B = 1 / (2√5) = √5 / 10.

Теперь найдем значение A:

A(2√5 - √5) + (√5 / 10)(2√5 + √5) = 1

A(√5) + (√5 / 10)(3√5) = 1

A√5 + (3√5 / 10)√5 = 1

A√5 + (3/10)√5√5 = 1

A√5 + (3/10) * 5 = 1

A√5 + 3/2 = 1

A√5 = 1 - 3/2

A√5 = -1/2

A = (-1/2) / √5 = -√5 / 10.

Теперь мы знаем значения A и B, и можем записать разложение на частные дроби:

∫ dx / (4x^2 - 5) = (-√5 / 10) / (2x√5 + √5) + (√5 / 10) / (2x√5 - √5)

Теперь проинтегрируем каждую из частей:

∫ (-√5 / 10) / (2x√5 + √5) dx = (-√5 / 10) ∫ dx / (2x√5 + √5)

Сделаем замену u = 2x√5 + √5, тогда du = 2√5 dx:

(-√5 / 10) ∫ dx / (2x√5 + √5) = (-√5 / 10) ∫ (1 / u) * (1 / 2√5) du

= (-√5 / 10) * (1 / 2√5) ∫ (1 / u) du

= (-1 / 10) ∫ (1 / u) du

= (-1 / 10) ln|u| + C₁

Теперь рассмотрим вторую часть:

∫ (√5 / 10) / (2x√5 - √5) dx = (√5 / 10) ∫ dx / (2x√5 - √5)

Тут мы также можем сделать замену u = 2x√5 - √5 и использовать du = 2√5 dx:

(√5 / 10) ∫ dx / (2x√5 - √5) = (√5 / 10) ∫ (1 / u) * (1 / 2√5) du

= (√5 / 10) * (1 / 2√5) ∫ (1 / u) du

= (1 / 10) ∫ (1 / u) du

= (1 / 10) ln|u| + C₂

Теперь объединим обе части:

∫ dx / (4x^2 - 5) = (-1 / 10) ln|u| + C₁ + (1 / 10) ln|u| + C₂

= (-1 / 10) ln|u| + (1 / 10) ln|u| + C₁ + C₂

= 0.1 ln|u| + C,

где C = C₁ + C₂ - это постоянная интеграции.

Итак, окончательный ответ:

∫ dx / (4x^2 - 5) = 0.1 ln|2x√5 + √5| + C