Question

Найдите промежутки убывания функции f(x)=2+3x^2-x^3

Answer 1

Находим первую производную:

f'(x)=2+3x^2-x^3

f'(x)=6x-3x^2

f'(x)=3x*(2-x)

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю:

3x*(2-x)=0

x*(2-x)=0

Получаем:

x1=0

x2=2

На интервале (-∞;0) значение функции f'(x)<0, т.е. функция убывает

На интервале (0;2) значение функции f'(x)>0, т.е. функция возрастает

На интервале (2;+∞) значение функции f'(x)<0, т.е. функция убывает

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции $f(x) = 2 + 3x^2 - x^3$, мы должны определить, где производная этой функции $f'(x)$ отрицательна.

1. Начнем с нахождения производной $f'(x)$: $f'(x) = 6x - 3x^2.$

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: $6x - 3x^2 = 0.$

Вынесем общий множитель 3x: $3x(2 - x) = 0.$

Теперь решим уравнение $3x = 0$ и $2 - x = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2.$

3. Теперь мы имеем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Чтобы определить, где функция $f(x)$ убывает, мы можем использовать тест знаков производной.

• Возьмем точку $x < 0$, например, $x = -1$. Подставляем это значение в $f'(x)$: $f'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9.$

Таким образом, производная отрицательна в этой точке ($f'(-1) < 0$), что означает, что функция $f(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$.

• Теперь возьмем точку между $x_1$ и $x_2$, например, $x = 1$. Подставляем это значение в $f'(x)$: $f'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3.$

Производная положительна в этой точке ($f'(1) > 0$), что означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0, 2)$.

• Наконец, возьмем точку $x > 2$, например, $x = 3$. Подставляем это значение в $f'(x)$: $f'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9.$

Производная снова отрицательна в этой точке ($f'(3) < 0$), что означает, что функция $f(x)$ убывает на интервале $(2, +\infty)$.

Итак, мы нашли промежутки убывания функции $f(x) = 2 + 3x^2 - x^3$:

• $(-\infty, 0)$
• $(2, +\infty)$