Question

Z= x^2 + y^2 + xy- 4x - 5y Найти экстремум функции Z

Answer 1

Для нахождения экстремума функции Z = x^2 + y^2 + xy - 4x - 5y, необходимо взять частные производные функции по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем найденные значения x и y подставить обратно в исходную функцию и найти соответствующее значение Z.

Давайте начнем с нахождения частных производных:

∂Z/∂x = 2x + y - 4

∂Z/∂y = x + 2y - 5

Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

2x + y - 4 = 0 ---(1)

x + 2y - 5 = 0 ---(2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Умножим (1) на 2 и вычтем из него (2):

4x + 2y - 8 - (x + 2y - 5) = 0

3x - 3 = 0

3x = 3

x = 1

Подставим найденное значение x = 1 в уравнение (1):

2(1) + y - 4 = 0

2 + y - 4 = 0

y = 2

Таким образом, найдены значения x = 1 и y = 2, при которых частные производные равны нулю.

Теперь подставим эти значения x = 1 и y = 2 обратно в исходную функцию Z:

Z = (1)^2 + (2)^2 + (1)(2) - 4(1) - 5(2)

Z = 1 + 4 + 2 - 4 - 10

Z = -7

Итак, экстремум функции Z равен -7.

Answer 2

Для нахождения экстремума функции Z = x^2 + y^2 + xy - 4x - 5y, нам нужно найти частные производные по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем решим эту систему уравнений, чтобы найти значения x и y в точке экстремума.

1. Найдем частные производные функции Z по переменным x и y: dZ/dx = 2x + y - 4 dZ/dy = 2y + x - 5

2. Приравняем обе частные производные к нулю и решим систему уравнений: 2x + y - 4 = 0 2y + x - 5 = 0

Давайте решим эту систему методом подстановки:

Из первого уравнения выразим y: y = 4 - 2x

Подставим это значение во второе уравнение: 2(4 - 2x) + x - 5 = 0

Упростим уравнение: 8 - 4x + x - 5 = 0

Сгруппируем переменные: -3x + 3 = 0

Теперь выразим x: -3x = -3 x = 1

Теперь найдем значение y, используя выражение, которое мы получили для y: y = 4 - 2x y = 4 - 2(1) y = 4 - 2 y = 2

Таким образом, мы нашли точку экстремума функции Z, которая имеет координаты (1, 2).

Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, можно использовать вторые частные производные или провести анализ окрестности этой точки, но для этого нужны дополнительные данные.