Question

Задание 2. Из чисел 440, 1170, 3160, 3906, 8187, 3401, 3654 выпишите все числа, которые: а) делятся на 9 (12 баллов); Задание 1 (10 баллов). Найдите все натуральные числа y, кратные 9, при которых будет верным неравенство: 203 < y < 243. Обоснуйте своё решение, используя признак делимости. б) делятся на 2 и на 3 (15 баллов); в) делятся на 3 и 5 (15 баллов). Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости.

Answer 1

Відповідь:

1. a) Для перевірки, чи число ділиться на 9, треба знайти суму всіх його цифр. Числа, що діляться на 9, мають суму цифр, яка теж ділиться на 9.

440: 4 + 4 + 0 = 8 (не ділиться на 9)

1170: 1 + 1 + 7 + 0 = 9 (ділиться на 9)

3160: 3 + 1 + 6 + 0 = 10 (не ділиться на 9)

3906: 3 + 9 + 0 + 6 = 18 (ділиться на 9)

8187: 8 + 1 + 8 + 7 = 24 (ділиться на 9)

3401: 3 + 4 + 0 + 1 = 8 (не ділиться на 9)

3654: 3 + 6 + 5 + 4 = 18 (ділиться на 9)

Числа, які діляться на 9: 1170, 3906 і 8187.

b) Для того, щоб число ділилося як на 2, так і на 3, воно повинно бути парним і мати суму цифр, яка також ділиться на 3.

440: Парне, сума цифр - 8 (не ділиться на 3)

1170: Парне, сума цифр - 9 (ділиться на 3)

3160: Парне, сума цифр - 10 (не ділиться на 3)

3906: Парне, сума цифр - 18 (ділиться на 3)

8187: Парне, сума цифр - 24 (ділиться на 3)

3401: Непарне, не ділиться на 3

3654: Парне, сума цифр - 18 (ділиться на 3)

Числа, які діляться і на 2, і на 3: 1170, 3906, 8187 і 3654.

в) Для того, щоб число ділилося і на 3, і на 5, сума його цифр повинна ділитися на 3, і остання цифра повинна бути 0 або 5.

440: Сума цифр - 8 (не ділиться на 3), остання цифра - 0

1170: Сума цифр - 9 (ділиться на 3), остання цифра - 0

3160: Сума цифр - 10 (не ділиться на 3), остання цифра - 0

3906: Сума цифр - 18 (ділиться на 3), остання цифра - 6

8187: Сума цифр - 24 (ділиться на 3), остання цифра - 7

3401: Не ділиться на 3, остання цифра - 1

3654: Сума цифр - 18 (ділиться на 3), остання цифра - 4

Числа, які діляться і на 3, і на 5: 1170, 3906 і 3654.

2. Щоб знайти всі натуральні числа y, кратні 9, і задовольняють умову 203 < y < 243, спочатку знайдемо всі натуральні числа, кратні 9, і потім перевіримо, які з них відповідають даній умові.

Для початку, знайдемо всі натуральні числа, кратні 9. Це будуть числа, які діляться на 9 без залишку. Ми можемо почати з числа 9 і далі додавати 9:

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, ...

Тепер перевіримо, які з цих чисел входять в інтервал 203 < y < 243:

203 < y < 243

Тепер перевіримо всі числа з нашого списку:

9 - не входить (менше 203).

18 - не входить (менше 203).

27 - не входить (менше 203).

36 - не входить (менше 203).

45 - не входить (менше 203).

54 - не входить (менше 203).

63 - не входить (менше 203).

72 - не входить (менше 203).

81 - не входить (менше 203).

90 - не входить (менше 203).

99 - не входить (менше 203).

108 - не входить (менше 203).

117 - не входить (менше 203).

126 - не входить (менше 203).

135 - не входить (менше 203).

144 - не входить (менше 203).

153 - не входить (менше 203).

162 - не входить (менше 203).

171 - не входить (менше 203).

180 - не входить (менше 203).

189 - не входить (менше 203).

198 - не входить (менше 203).

207 - входить (між 203 і 243).

216 - входить (між 203 і 243).

225 - входить (між 203 і 243).

234 - входить (між 203 і 243).

243 - не входить (більше 243).

Отже, всі натуральні числа, кратні 9, які задовольняють нерівність 203 < y < 243, це 207, 216, 225 і 234.

Answer 2

а) Для того чтобы найти все числа из списка, которые делятся на 9, нужно сложить все их цифры и проверить, делится ли сумма на 9. Если да, то число делится на 9.

1. 440: 4 + 4 + 0 = 8. 8 не делится на 9, поэтому 440 не делится на 9.
2. 1170: 1 + 1 + 7 + 0 = 9. 9 делится на 9, поэтому 1170 делится на 9.
3. 3160: 3 + 1 + 6 + 0 = 10. 10 не делится на 9, поэтому 3160 не делится на 9.
4. 3906: 3 + 9 + 0 + 6 = 18. 18 делится на 9, поэтому 3906 делится на 9.
5. 8187: 8 + 1 + 8 + 7 = 24. 24 не делится на 9, поэтому 8187 не делится на 9.
6. 3401: 3 + 4 + 0 + 1 = 8. 8 не делится на 9, поэтому 3401 не делится на 9.
7. 3654: 3 + 6 + 5 + 4 = 18. 18 делится на 9, поэтому 3654 делится на 9.

Итак, числа, которые делятся на 9: 1170, 3906 и 3654.

б) Для того чтобы найти числа, которые делятся и на 2, и на 3, нужно проверить, что число делится как на 2, так и на 3.

1. 440: Делится и на 2 (четное), и на 3 (сумма цифр равна 8, что не делится на 3). Не подходит.
2. 1170: Делится и на 2 (четное), и на 3 (сумма цифр равна 9, что делится на 3). Подходит.
3. 3160: Делится и на 2 (четное), и на 3 (сумма цифр равна 10, что не делится на 3). Не подходит.
4. 3906: Делится и на 2 (четное), и на 3 (сумма цифр равна 18, что делится на 3). Подходит.
5. 8187: Не делится на 2 (нечетное), поэтому не подходит.
6. 3401: Не делится на 2 (нечетное), поэтому не подходит.
7. 3654: Делится и на 2 (четное), и на 3 (сумма цифр равна 18, что делится на 3). Подходит.

Итак, числа, которые делятся и на 2, и на 3: 1170, 3906 и 3654.

в) Для того чтобы найти числа, которые делятся и на 3, и на 5, нужно проверить, что число делится как на 3, так и на 5.

1. 440: Не делится ни на 3, ни на 5. Не подходит.
2. 1170: Делится на 3 (сумма цифр равна 9, что делится на 3), но не делится на 5. Не подходит.
3. 3160: Делится на 5 (последняя цифра равна 0), но не делится на 3. Не подходит.
4. 3906: Делится и на 3 (сумма цифр равна 18, что делится на 3), и на 5 (последняя цифра равна 6). Подходит.
5. 8187: Не делится ни на 3, ни на 5. Не подходит.
6. 3401: Не делится ни на 3, ни на 5. Не подходит.
7. 3654: Делится на 3 (сумма цифр равна 18, что делится на 3), но не делится на 5. Не подходит.

Итак, единственное число, которое делится и на 3, и на 5, это 3906.