Question

Усередині круга радіусом R навмання вибирають точку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить усередину вписаного у круг правильного трикутника. З малюнком

Answer 1

Для знаходження ймовірності того, що точка, випадково вибрана всередині круга радіусом R, потрапить всередину вписаного у цей круг правильного трикутника, спочатку розглянемо геометричну конфігурацію цієї задачі.

Маємо круг радіусом R:

markdownCopy code
      O
      |\
      | \
      |  \ R
      |   \
      |____\

В центрі цього круга розташований правильний трикутник, вписаний у нього:

bashCopy code
      O
      /\
     /__\
    /____\

Для знаходження ймовірності потрапити всередину вписаного трикутника, події можна поділити на дві частини:

1. Точка потрапляє всередину трикутника.
2. Точка потрапляє поза межами трикутника, але всередину круга.

Знайдемо спочатку ймовірність події 2.

Площа круга радіусом R дорівнює πR², і площа вписаного в нього трикутника дорівнює (корінь з 3) / 4 * R² (за формулою для площі правильного трикутника).

Тоді ймовірність того, що точка потрапить всередину круга, але поза межами трикутника, дорівнює:

P(поза трикутником) = (Площа круга - Площа трикутника) / Площа круга P(поза трикутником) = (πR² - (корінь з 3) / 4 * R²) / (πR²)

Тепер знайдемо ймовірність події 1, тобто того, що точка потрапить всередину вписаного трикутника.

P(в трикутнику) = 1 - P(поза трикутником)

Таким чином, ми знайшли ймовірність того, що точка потрапить всередину вписаного у круг правильного трикутника.