Question

Усередині рівностороннього трикутника навмання зафіксовано точку. Якою є ймовірність того, що вона потрапить усередину трикутника, утвореного середніми лініями цього трикутника?

Answer 1

50%, оскільки трикутник, утворений середніми лініями рівностороннього трикутника, рівно у два рази менший за трикутник, в який він вписаний.

Answer 2

Якщо ми маємо на увазі рівносторонній трикутник із стороною довжиною одиниця, тоді ця задача може бути розв'язана за допомогою геометричних властивостей трикутника.

Середні лінії трикутника - це лінії, які з'єднують середини кожної сторони трикутника з вершинами протилежних сторін. У рівносторонньому трикутнику ці середні лінії також є медіанами, бісектрисами та висотами одночасно.

Тепер, якщо ми виберемо випадкову точку всередині рівностороннього трикутника, ймовірність того, що вона потрапить усередину трикутника, утвореного середніми лініями, буде відношення площі цього внутрішнього трикутника до площі початкового рівностороннього трикутника.

Розглянемо площі трикутників:

1. Початковий рівносторонній трикутник: його площа дорівнює (база * висота) / 2 = (1 * √3/2) / 2 = √3/4.
2. Внутрішній трикутник, утворений середніми лініями: висота внутрішнього трикутника дорівнює половині висоти початкового трикутника, тобто √3/4 * 1/2 = √3/8. Його площа дорівнює (база * висота) / 2 = (1 * √3/8) / 2 = √3/16.

Таким чином, ймовірність того, що випадково обрана точка потрапить всередину внутрішнього трикутника (утвореного середніми лініями), дорівнює відношенню площі внутрішнього трикутника до площі початкового рівностороннього трикутника:

Ймовірність = (Площа внутрішнього трикутника) / (Площа початкового трикутника) = (√3/16) / (√3/4) = 1/4.

Отже, ймовірність того, що точка, випадково обрана всередині рівностороннього трикутника, потрапить внутрішній трикутник, утворений середніми лініями, дорівнює 1/4, або 25%.