Question

Круг з радіусом R=6 см містить круг з радіусом r=√‎ 6 см. У більший круг навмання кидають 6 точок, причому попадання точки в будь-яке місце круга вважається рівноможливим. Знайти ймовірність того, що при цьому хоча б одна точка потрапить в менший круг.

Answer 1

Ответ:

100%

Пошаговое объяснение:

Варто зазначити, що круг - замкнена фігура з площею (на відміну від кола). Площа меншого круга - $6\pi$, більшого - $36\pi$.

Ймовірність - відношення очікуваних нами подій до усіх. Очікувані - що ми "попадемо" в малий круг, усі - що ми "попадемо" в великий круг.

Ймовірність того, що одна точка попаде в малий круг - $\frac{6\pi }{36\pi}=1/6$.

Однак, ми кидаємо 6 шість точок і нам задовольнить, якщо ХОЧА Б одна потрапить у мале коло. Домножимо вірогідность однієї точки на к-ть точок: $1/6*6=1=100$ процентів.

Answer 2

Для знаходження ймовірності, що хоча б одна з шести точок, кинутих у більший круг, потрапить в менший круг, ми можемо скористатися методом комбінаторики.

Загалом, є 6 можливих спроб кинути точки у більший круг, і кожна з них має однакову ймовірність попасти в будь-яку область більшого круга. Існує тільки дві можливості для кожної точки: або вона попадає в менший круг, або вона не попадає.

Ймовірність того, що одна точка не потрапить в менший круг, дорівнює ймовірності попадання в іншу область більшого круга:

Ймовірність, що точка НЕ потрапить в менший круг = (площа області більшого круга за винятком площі меншого круга) / площа більшого круга.

Площа круга: A = π * r^2, де r - радіус круга.

Тому площа більшого круга = π * R^2 = π * 6^2 = 36π.

Площа меншого круга = π * r^2 = π * (√6)^2 = π * 6 = 6π.

Отже, ймовірність, що одна точка не потрапить в менший круг:

P(точка НЕ потрапить в менший круг) = (36π - 6π) / 36π = 30/36 = 5/6.

Тепер, щоб знайти ймовірність того, що хоча б одна точка потрапить в менший круг, можемо використати ймовірність, що жодна точка не потрапить в менший круг:

P(хоча б одна точка потрапить в менший круг) = 1 - P(точка НЕ потрапить в менший круг).

P(хоча б одна точка потрапить в менший круг) = 1 - 5/6 = 1/6.

Отже, ймовірність, що хоча б одна точка з шести потрапить в менший круг, дорівнює 1/6, або приблизно 0.1667 (або 16.67%).