Question

Задачі для самост. 1. A = {1, 2, 3, 6}; B = {1, 3, 9}. A \ B — ?; B \ A-? A N B -? 2. Hexaй U = R. Знайти Au, якщо: a) A = [r; ∞); б) А = R+; в) А (16; 20). 3. Довести тотожності і зобразити їх кругами Ейлера: a) A \ (A \ B) = A \ B; б) А \ B = A \ (A | B). 4. Як пов'язані між собою множини: a) A U (B \ C)i(A U B) C; б) A \ (B U C) i (A \ \ B) \ С; в) A U (B \ C) i (A U B) \ (A U C)? 5. A двозначні числа; в парні натуральні числа. Знайти переріз і різницю множин А і В. Знайти доповнення кожної з множин А і В до множини N. - = - = = [ = U Yi 6. Використовуючи рівності X\ Y = X U Y i XY, спростити вирази X U Ý і Ý ∩ X. 7. Із 100 студентів першого курсу 6 відмінників, 20 спортсменів, 25 учасників художньої самодіяльності, 3 є XUY​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

A \ B = {2, 6} (різниця множин A і B)

B \ A = {9} (різниця множин B і A)

A ∩ B = {1, 3} (перетин множин A і B)

a) Au = R (об'єднання множин A і усіх дійсних чисел R)

б) Au = R+ (об'єднання множин A і позитивних дійсних чисел R+)

в) Au = (−∞; ∞) (об'єднання множин A і відкритого інтервалу від 16 до 20)

a) A \ (A \ B) = A \ B (доведено)

A \ (A \ B) = A \ B

б) A \ B = A \ (A ∪ B) (доведено)

A \ B = A \ (A ∪ B)

a) A ∪ (B \ C) ∩ (A ∪ B) ⊆ C

б) A \ (B ∪ C) ∩ (A \ B) ⊆ C

в) A ∪ (B \ C) ∩ (A ∪ B) = C

Переріз множин А і В: A ∩ B = {2, 4, 6, 8}

Різниця множин А і В: A \ B = {1, 3, 5, 7, 9}

Доповнення множини А до множини N: A' = {0, 10, 11, 12, ...}

Доповнення множини В до множини N: B' = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, ...}

Використовуючи рівності:

X \ Y = X ∩ Y'

X ∩ Y = Y ∩ X

Спростимо вирази:

a) X ∪ Y = X ∪ (X ∩ Y') = X (тому що X ∩ Y' = X \ Y)

б) X ∩ Y = Y ∩ X

За умовою:

Кількість відмінників = 6

Кількість спортсменів = 20

Кількість учасників художньої самодіяльності = 25

Загальна кількість студентів = 100

Знайдемо кількість студентів, які є або відмінниками або спортсменами: 6 + 20 = 26

Знайдемо кількість студентів, які є або відмінниками або учасниками художньої самодіяльності: 6 + 25 = 31

Знайдемо кількість студентів, які є або відмінниками або спортсменами, або учасниками художньої самодіяльності:

6 + 20 + 25 = 51

За допомогою принципу включення-виключення знайдемо кількість студентів, які є і відмінниками, і спортсменами, і учасниками художньої самодіяльності:

100 - 51 = 49

Отже, кількість студентів, які є одночасно відмінниками, спортсменами і учасниками художньої самодіяльності, дорівнює 49.

Answer 2

Давайте розглянемо кожну задачу окремо:

1. a) A \ B = {2, 6} (елементи, які є в A, але не в B). b) B \ A = {9} (елементи, які є в B, але не в A). c) A ∩ B = {1, 3} (перетин множин A і B).

2. a) Якщо A = [r; ∞), то Au = (-∞; ∞) (об'єднання будь-якої множини з усім множинами R дає R). б) Якщо A = R+, то Au = R+ (об'єднання будь-якої позитивної множини з усім множинами R дає позитивні числа). в) Якщо A = (16; 20), то Au = (-∞; ∞) (об'єднання будь-якої відкритої інтервалу з усім множинами R дає R).

3. a) A \ (A \ B) = A \ (A ∩ B) = A \ {1, 3} = {2, 6} А \ B = {2, 6} Отже, A \ (A \ B) = A \ B.

   б) A \ B = A \ (A ∪ B) = A \ {1, 2, 3, 9} = {6} А \ B = {6} Отже, A \ B = A \ (A ∪ B).

4. a) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ C б) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) в) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C)

5. A = {10, 11, 12, ... 99} (двозначні числа) B = {2, 4, 6, ...} (парні натуральні числа)

   Переріз множин A і B: A ∩ B = {10, 12, 14, ... 98} (двозначні парні числа)

   Різниця множин A і B: A \ B = {11, 13, 15, ... 99} (двозначні непарні числа)

   Доповнення множин: Доповнення A до множини N: A' = {1, 2, 3, ... 9, 100, 101, ...} Доповнення B до множини N: B' = {1, 3, 5, 7, 9, 101, 103, ...}

6. Використовуючи рівності X \ Y = X ∪ Y' і X ∩ Y = X \ (X \ Y), можна спростити вирази:

   X ∪ Y = (X ∪ Y')' = (X' ∩ Y)'

   Y ∩ X = (X \ (X \ Y))' = (X ∪ (X \ Y))'

7. Із 100 студентів першого курсу:

   • 6 відмінників (X)
   • 20 спортсменів (Y)
   • 25 учасників художньої самодіяльності (Z)

   3 студенти є одночасно відмінниками і спортсменами (X ∩ Y).

   Знайдемо кількість студентів, які є відмінниками або спортсменами (X ∪ Y):

   X ∪ Y = |X| + |Y| - |X ∩ Y| = 6 + 20 - 3 = 23 студенти.

   Тепер знайдемо кількість студентів, які є одночасно відмінниками і художньою самодіяльністю (X ∩ Z):

   Знайдемо кількість студентів, які є відмінниками або художньою самодіяльністю (X ∪ Z):

   X ∪ Z = |X| + |Z| - |X ∩ Z| = 6 + 25 - |X ∩ Z|.

   Також знаємо, що всього є 100 студентів на курсі, тому:

   X ∪ Y ∪ Z = X ∪ Y + Z - (X ∩ Y ∩ Z) = 23 + 25 - |X ∩ Z| - 3 = 45 - |X ∩ Z|.

   З останньої рівності можна знайти |X ∩ Z| і знати кількість студентів, які є одночасно відмінниками і художньою самодіяльністю.