Question

Розвʼязати задачі за допомогою рівнянь: 1. Сара, Мартін і Лотте влаштовуються на роботу, щоб отримати кишенькові гроші на поїздку до Ісландії. Загалом вони мають 490 грн. Сара матиме вдвічі більше, ніж Мартін. Лотте повинна мати на 10 грн менше ніж Сара. Скільки грн має бути у кожного з них? 2. Сергій купив маленькі та великі піци. Маленька піца коштує 120 грн. Велика піца коштує 160 грн. Загалом Сергій заплатив 920 грн. Скільки піци він купив?

Answer 1

Відповідь:

1.) У Мартіна - 100 гривень.

У Сари - 200 гривень.

У Лотте - 190 гривень.

2.) Задача має два рішення:

2.1.) Сергій купив одну маленьку піцу, та п'ять великих піц.

2.1.) Сергій купив п'ять маленькіх піц, та дві великих піци.

Покрокове пояснення:

1.) Позначимо як Х гривень - кількість грошей у Мартіна, у такому разі у Сари 2Х гривень, а у Лотте ( 2Х - 10 ) гривень. Загалом вони мають 490 гривень:

Х + 2Х + 2Х - 10 = 490

5Х = 500

Х = 100 гривень - грошей у Мартіна.

2 × 100 = 200 гривень - грошей у Сари.

200 - 10 = 190 гривень - грошей у Лотте.

Перевірка:

100 + 200 + 190 = 490

490 = 490

Все вірно.

2.) Позначимо як Х штук - кількість маленькіх піц, що купив Сергій; та як У штук - кількість великих піц що купив Сергій.

За всі маленькі піци Сергій заплатив 120Х гривень, а за всі великі піци Сергій заплатив 160У гривень. Загалом Сергій заплатив 920 гривень:

120Х + 160У = 920

Розділимо рівняння на 40:

3Х + 4У = 23 ( це рівняння можна інтерпетувати як те, що Сергій купив маленькі піци, що складаються з трьох шматочків, та великі піци, що складаються з чотирьох шматочків, а загальна кількість шматочків дорівнює двадцяти трьом ).

Ми отримали рівняння з двома змінними Х та У. За умовами задачі обидві змінні - це цілі позитивні числа ( бо неможна купити негативну кількість піц, або не цілий шматок піци, за умовами задачі ).

В рівнянні

3Х + 4У = 23

число 23 не ділиться без залишку а ні на 3, а ні на 4, таким чином стає ясно, що Сергій купив і маленькі піци, і великі піци, а не обмежився лише піцами одного розміру ).

Примемо Х = 1 ( таким чином отримаємо:

3 × 1 + 4У = 23

4У = 23 - 3 = 20

У = 5

Отримали перше рішення задачі:

1) Х = 1, У = 5

Треба зауважити, що чотири маленькі піци коштують таку саму кількість грошей, що і три великі піци:

4 × 120 = 480 гривень;

3 × 160 = 480 гривень.

Таким чином, якщо кількість великих піц зменьшити на три, а кількість малих піц збільшити на чотири, то загальна вартість всіх піц не зміниться.

Отримали друге рішення задачі:

2) Х = 1 + 4 = 5, У = 5 - 3 = 2

Перевірка:

1) 120 × 1 + 160 × 5 = 920

120 + 800 = 920

920 = 920

2) 120 × 5 + 160 × 2 = 920

600 + 320 = 920

920 = 920

Все вірно.

Answer 2

1. Позначимо суму грошей, які має кожен із трьох друзів, наступним чином:
   • Нехай x грн має Мартін.
   • Тоді Сара матиме 2x грн (вдвічі більше, ніж Мартін).
   • Лотте матиме (2x - 10) грн (на 10 грн менше, ніж Сара).

Тепер ми знаємо, що загальна сума грошей, яку вони мають, дорівнює 490 грн, тобто:

x + 2x + (2x - 10) = 490

Зіберемо подібні члени:

5x - 10 = 490

Тепер додамо 10 до обох сторін рівняння:

5x = 500

Поділимо обидві сторони на 5:

x = 100

Отже, Мартін має 100 грн, Сара має 2x = 2 * 100 = 200 грн, і Лотте має 2x - 10 = 2 * 100 - 10 = 190 грн.

2. Нехай x - кількість маленьких піц, і y - кількість великих піц. За умовою ми знаємо, що маленька піца коштує 120 грн, а велика піца коштує 160 грн. Загальна сума, яку Сергій заплатив, дорівнює 920 грн, тобто:

120x + 160y = 920

Розділимо обидві сторони на 40 (найменший спільний кратник 120 і 160):

3x + 4y = 23

Тепер ми можемо спростити це рівняння, віднявши 3x від обох сторін:

4y = 23 - 3x

Тепер поділимо обидві сторони на 4:

y = (23 - 3x) / 4

Для знаходження кількості піц Сергія, нам потрібно знайти такі цілі значення x і y, які задовольнять це рівняння. Так як x і y повинні бути цілими числами, ми можемо перебрати можливі значення x і знайти відповідні значення y:

x = 1, то y = (23 - 3 * 1) / 4 = 20 / 4 = 5 x = 2, то y = (23 - 3 * 2) / 4 = 17 / 4 (не ціле число)

Отже, Сергій купив 1 маленьку піцу і 5 великих піц.