Question

Сторона BC треугольника ABC равна 3 корня из 3. На стороне AB отмечена точка Р так, что угол ABC=углу ACP. Найдите площадБ треугольника, если BP= 9 корней из 3 :5; AP= 16 корней из 3 :5.

Answer 1

Δ ABC подобен Δ APC (по двум углам). При этом АВ = АР + ВР = $\frac{9 \sqrt{3} }{5} + \frac{16\sqrt{3} }{5} = \frac{25\sqrt{3} }{5} =5 \sqrt{3}$.
Из подобия треугольников 
$\frac{AC}{AP} = \frac{AB}{AC}$⇒
$AC^{2} =AB*AP=5 \sqrt{3} * \frac{16}{5} \sqrt{3} =48$
$AC= \sqrt{48} =4 \sqrt{3}$/
Но $AC^{2} + BC^{2} = (4 \sqrt{3} )^{2} +(3\sqrt{3} )^{2} =16*3+9*3=/tex] =[tex](16+9)*3=25*3= (5 \sqrt{3} )^{2} = AB^{2}$, что означает, что АВС - прямоугольный треугольник, где ∠АСВ = 90°. Значит, площадь треугольника мы можем найти как половину произведения сторон АС и ВС, составляющих прямой угол. Итак,
$S= \frac{AC*BC}{2} = \frac{4 \sqrt{3} *3 \sqrt{3}}{2} =18$