Question

(a) Найдите уравнение линии регрессии x на y, если линия проходит через (1, 4) и имеет градиент 2. (b) Вычислите уравнение регрессии наименьших квадратов Y по X для следующих данных. Что такое коэффициент регрессии и что он означает? X 5 6 8 10 12 13 15 16 17 Y 16 19 23 28 36 41 44 45 50 (Оригинал) (a) Find the equation of the regression line of x on y if the line goes through (1, 4) and has gradient 2. (b) Compute the least squares regression equation of Y on X for the following data. What is the regression coefficient and what does it mean? X 5 6 8 10 12 13 15 16 17 Y 16 19 23 28 36 41 44 45 50

Answer 1

(a) Чтобы найти уравнение линии регрессии x на y, мы можем использовать формулу y = mx + c, где m - градиент (slope) и c - точка пересечения с осью y (y-intercept).

У нас дана точка (1, 4) и градиент 2. Подставим эти значения в уравнение:

4 = 2 * 1 + c

Упростим:

4 = 2 + c

Вычтем 2 из обеих сторон:

2 = c

Таким образом, уравнение линии регрессии x на y будет y = 2x + 2.

(b) Чтобы вычислить уравнение регрессии наименьших квадратов Y по X, мы можем использовать метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти линию, которая минимизирует сумму квадратов разностей между фактическими значениями Y и предсказанными значениями Y.

Для данного набора данных:

X: 5 6 8 10 12 13 15 16 17

Y: 16 19 23 28 36 41 44 45 50

Мы можем использовать формулу уравнения регрессии наименьших квадратов:

Y = aX + b

Где a - коэффициент регрессии (regression coefficient) и b - точка пересечения с осью Y (y-intercept).

Чтобы вычислить a и b, нам нужно использовать следующие формулы:

a = (nΣXY - ΣXΣY) / (nΣX^2 - (ΣX)^2)

b = (ΣY - aΣX) / n

Где n - количество наблюдений, ΣX - сумма значений X, ΣY - сумма значений Y, ΣXY - сумма произведений X и Y, ΣX^2 - сумма квадратов значений X.

Вычисляя значения, получаем:

n = 9

ΣX = 102

ΣY = 302

ΣXY = 4086

ΣX^2 = 1406

Подставляя значения в формулы, получаем:

a = (9 * 4086 - 102 * 302) / (9 * 1406 - 102^2) ≈ 2.426

b = (302 - 2.426 * 102) / 9 ≈ -4.963

Таким образом, уравнение регрессии наименьших квадратов Y по X будет Y ≈ 2.426X - 4.963.

Коэффициент регрессии (regression coefficient) a равен 2.426. Он показывает, насколько единица изменения в X влияет на изменение Y. В данном случае, каждое увеличение X на единицу приводит к примерно 2.426 единицам увеличения Y.

Он также может быть интерпретирован как угол наклона линии регрессии.

Answer 2

(a) Для нахождения уравнения линии регрессии x на y, учитывая, что линия проходит через точку (1, 4) и имеет градиент 2, мы можем использовать формулу линейной регрессии:

y = mx + b

где:

• y - зависимая переменная (в данном случае x),
• x - независимая переменная (в данном случае y),
• m - градиент (наклон) линии регрессии,
• b - y-перехват (точка, где линия пересекает ось y).

Известно, что градиент m = 2 и линия проходит через точку (1, 4), что означает, что при x = 1, y = 4. Подставим эти значения в уравнение и решим для b:

4 = 2(1) + b

4 = 2 + b

b = 4 - 2

b = 2

Теперь у нас есть значения m и b. Таким образом, уравнение линии регрессии x на y выглядит следующим образом:

x = 2y + 2

(b) Для вычисления уравнения регрессии наименьших квадратов Y по X мы можем воспользоваться методом наименьших квадратов. Этот метод позволяет нам найти линейную модель, которая наилучшим образом соответствует данным.

У нас есть данные:

X: 5 6 8 10 12 13 15 16 17 Y: 16 19 23 28 36 41 44 45 50

Сначала вычислим средние значения X и Y:

Среднее X (X̄) = (5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 13 + 15 + 16 + 17) / 9 = 112 / 9 ≈ 12.44

Среднее Y (Ȳ) = (16 + 19 + 23 + 28 + 36 + 41 + 44 + 45 + 50) / 9 = 298 / 9 ≈ 33.11

Теперь вычислим коэффициент регрессии (бета):

b = Σ((X - X̄)(Y - Ȳ)) / Σ((X - X̄)^2)

где Σ обозначает сумму по всем наблюдениям.

Вычислим числитель:

Σ((X - X̄)(Y - Ȳ)) = (5-12.44)(16-33.11) + (6-12.44)(19-33.11) + ... + (17-12.44)(50-33.11)

Это может быть вычислено численно. Затем вычислим знаменатель:

Σ((X - X̄)^2) = (5-12.44)^2 + (6-12.44)^2 + ... + (17-12.44)^2

Это также может быть вычислено численно.

Подставим числитель и знаменатель в формулу:

b = Числитель / Знаменатель

После вычислений, получим значение коэффициента регрессии (b).

Коэффициент регрессии (b) представляет собой меру, насколько среднее изменение Y связано со средним изменением X. Он означает, на сколько единиц изменяется Y при изменении X на одну единицу. В данном случае, это будет темп изменения Y при изменении X. Большее значение b указывает на более сильную связь между переменными X и Y.